Задачи на проценты —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#20615

Одна таблетка лекарства весит 70 мг и содержит 4% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,05 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте пяти месяцев и весом 8 кг в течение суток?

Показать ответ и решение

Для начала посчитаем, сколько мг активного вещества содержит одна таблетка:

4 70⋅100 = 2,8

Ребенку весом 8 кг следует дать $1,05⋅8= 8,4$ мг активного вещества в сутки. При этом в одной таблетке $2,8$ мг активного вещества, значит, ребенку следует дать $8,4-= 3 2,8$ таблетки.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2

Таблетка весит 16 мг и содержит 50% активного вещества. Кириллу врач прописал 1 мг активного вещества на каждый килограмм массы в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует принимать Кириллу в течение суток, если его масса 40 килограмм?

Показать ответ и решение

Таблетка содержит $16⋅0,5= 8$ мг активного вещества. Кириллу врач прописал принимать $1⋅40= 40$ мг активного вещества в сутки. То есть, ему надо принимать $40 :8= 5$ таблеток в сутки.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#20863

Свежевыжатый яблочный сок содержит 12% сахара. Сколько литров воды надо добавить к 2 литрам сока, чтобы содержание сахара стало 8%?

Показать ответ и решение

Пусть после добавления $x$ литров воды в 2 литра сока содержание сахара стало равно 8%. Тогда имеем:

0,12-⋅2 2+ x = 0,08 3 2+-x-=1 x = 1

Значит, добавили 1 литр воды.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#20841

Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Показать ответ и решение

Обозначим стоимость куртки через $x.$ Тогда стоимость четырех рубашек меньше на 8%, то есть равна

x − 0,08x= 0,92x

Отсюда стоимость одной рубашки равна

0,92x --4--= 0,23x

Стоимость пяти рубашек будет равна

5⋅0,23x = 1,15x = x+ 0,15x

Отсюда получаем, что пять рубашек дороже куртки на 15%.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#17164

Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 4%. На сколько процентов шесть таких же рубашек дороже куртки?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — цена рубашки, а $y$ — цена куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет 96% от стоимости куртки:

4x = 0,96y

Выразим стоимость шести рубашек через стоимость одной куртки:

3 3 6x = 2 ⋅4x = 2 ⋅0,96y = 1,44y

Следовательно, стоимость шести рубашек составляет 144% от стоимости куртки. Тогда шесть рубашек дороже куртки на 44%.

Ответ: 44

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1624

Два шоколадных батончика дешевле пирожного на 10%. На сколько процентов три батончика дороже пирожного?

Показать ответ и решение

Пусть $b$ — цена батончика, пусть $p$ — цена пирожного, тогда имеем:

90-⋅p= 2b ⇒ b= -45p 100 100

Отсюда получаем

135 ( 35-) 3b= 100p= p 1+ 100

Тогда три батончика дороже пирожного на 35%.

Ответ: 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#75428

Пять тысяч шерстяных носков дороже трёх тысяч гетр на $20%.$ На сколько процентов шестьсот таких же гетр дороже восьмисот таких же носков? Ответ округлите до целых.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — стоимость одного носка; $y$ — стоимость одной гетры.

Тогда из условия имеем тождество:

( ) -20 5000x = 1+ 100 ⋅3000y,

5x = 1,2 ⋅3y,

36 x = --y. 50

Пусть $z$ — число процентов, на которое шестьсот гетр дороже восьмисот носков:

( z ) 800x⋅ 1+ 100 = 600y.

Подставим найденное значение $x$ и разделим на $y :$

( ) 800 ⋅ 36y⋅ 1 +-z- = 600y, 50 100

36 ( -z-) 800 ⋅50 ⋅ 1 + 100 = 600,

( ) 16⋅36 ⋅ 1+ -z- = 600, 100

16 ⋅6⋅(1 + -z-) = 100, 100

( -z-) 4 ⋅6⋅ 1 + 100 = 25,

z 25 1+ --- = --, 100 24

z 1 --- = --, 100 24

z = 25, 6

1 z = 46 = 4,166...

После запятой стоит цифра 1, значит, при округлении до целых получаем число 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#71597

Свежие фрукты содержат 93% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 21 кг высушенных фруктов?

Показать ответ и решение

В задачах такого типа важно понимать, что масса сухого вещества (концентрата) не меняется, а масса воды будет изменяться в процессе сушки.

Таким образом, доля сухого вещества в свежих фруктах равна 7%, а в высушенных — 84%. Теперь мы можем составить уравнение, где $x$ — масса свежих фруктов:

21⋅0,84 = x⋅0,07 17,64= 0,07x x = 252

Ответ: 252

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#23557

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Показать ответ и решение

Пусть мы имеем $x$ кг винограда, тогда $0,9x$ кг — масса влаги в нем. Обозначим массу изюма, которая получается из $x$ кг винограда, через $y$ кг. Тогда В $y$ кг изюма содержится $0,05y$ кг воды.

Заметим, что разница масс винограда и изюма равна разнице масс содержащейся в них воды. Действительно, процесс получения изюма из винограда эквивалентен для нас извлечению из винограда какого-то количества воды. Тогда имеем уравнение:

$pict$

Тогда для получения $y = 20$ кг изюма понадобится виноград массой в кг, равной

x= 9,5 ⋅20 = 190

Ответ: 190

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#22841

Алексей купил рубашку, пиджак и носовой платок. Если бы пиджак стоил втрое дороже, общая стоимость покупки выросла на 130%. Если бы платок стоил вдвое дешевле, то общая стоимость покупки уменьшилась на 4%. Сколько процентов от общей стоимости покупки составляет стоимость рубашки?

Показать ответ и решение

Если бы пиджак стоил втрое дороже, общая стоимость покупки выросла на 130%. Это означает, что два дополнительных пиджака составляют 130% от текущей стоимости всех товаров, то есть один пиджак составляет 65% стоимости всех товаров.

Если бы платок стоил вдвое дешевле, то общая стоимость покупки уменьшилась на 4%. То есть половина стоимости платка составляет 4% стоимости, значит, весь платок составляет 8%.

Поскольку все товары в сумме составляют 100% стоимости, рубашка составляет от общей стоимости

100 − 8 − 65 = 27%

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#20846

Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Показать ответ и решение

Обозначим прибыль за некоторый год через $x$ . Тогда, так как прибыль в каждом следующем году увеличивается на $300%$ по сравнениюю с предыдущим годом, то прибыль в следующем году будет равна

300 x + ---x = x+ 3x = 4x 100

То есть каждый год прибыль увеличивается в 4 раза по сравнению с предыдущим годом. Тогда если в 2000 году прибыль равна 5000, то в 2001 прибыль будет равна $4 ⋅5000$ , в 2002 — $2 4 ⋅5000$ , в 2003 — $43 ⋅5000$ .

Таким образом, прибыль за 2003 год составит

43 ⋅5000 = 64⋅5000 = 320000 рублей.

Ответ: 320000 рублей

Ответ: 320000

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2727

В государстве $σ$ на планете $Ω$ в 2010 году ЕГЭ по биологии не сдали $10000 ⋅ 11211443$ выпускников. В 2011 году число не сдавших выросло на 5 $%$ , а в 2012 году – уменьшилось на 3 $%$ по сравнению с 2011 годом. На сколько процентов увеличилось число выпускников, не сдавших ЕГЭ по биологии в 2012 году по сравнению с 2010 годом в государстве $σ$ на планете $Ω$ ?

Показать ответ и решение

В 2011 году число не сдавших составило $100% + 5% = 105%$ от числа не сдавших в 2010 году, тогда в 2011 году не сдали ЕГЭ по биологии $10000 ⋅ 11211443 ⋅ 1,05$ выпускников. В 2012 году число не сдавших составило $100% − 3% = 97%$ от числа не сдавших в 2011 году, тогда в 2012 не сдали ЕГЭ по биологии $1443 10000 ⋅ 1121 ⋅ 1,05 ⋅ 0,97$ выпускников, что составляет

10000 ⋅ 11211443 ⋅ 1,05 ⋅ 0,97 1,05 ⋅ 0,97 ----------------------------⋅ 100% = -----------⋅ 100% = 101,85% 10000 ⋅ 11211443 1

от числа выпускников, не сдавших в 2010 году.

Значит, число выпускников, не сдавших ЕГЭ в 2012 году увеличилось на $101,85% − 100% = 1,85%$ по сравнению с числом выпускников, не сдавших в 2010 году.

Ответ: 1,85

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1985

Игнат хранит деньги дома под подушкой. У него есть $100$ рублей. Известно, что пакет молока $1$ числа стоил $65$ рублей. В течение последующих $10$ дней молоко дорожало каждый день на $10%$ по сравнению с предыдущим днём. Какого числа Игнату впервые не хватило денег на пакет молока?

Показать ответ и решение

Спустя $n$ дней молоко стало стоить $65 ⋅ (1 + 0,1)n$ . Игнату не хватило денег на пакет молока, когда стало выполняться неравенство

n n 20- 65 ⋅ 1,1 > 100 ⇔ 1,1 > 13.

Прямым вычислением можно убедиться, что при $n = 4$ это неравенство ещё не выполняется, а при $n = 5$ оно уже справедливо, то есть Игнату стало нехватать денег, когда после первого числа прошло не менее $5$ дней. Таким образом, ответ: $6$ числа.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1625

Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алёша Попович рубили головы змея Горыныча. Если бы Илья Муромец срубил голов вдвое больше, чем он срубил в итоге, то суммарное количество срубленных богатырями голов выросло бы на $45%$ . Если бы вместо этого Алёша Попович срубил голов в четыре раза меньше, чем он срубил в итоге, то суммарное количество срубленных богатырями голов уменьшилось бы на $15%$ . Сколько процентов от суммарного количества голов срубил Добрыня Никитич?

Показать ответ и решение

Пусть Илья Муромец срубил $x%$ от суммарного количества срубленных богатырями голов,

пусть Добрыня Никитич срубил $y%$ от суммарного количества срубленных богатырями голов,

пусть Алёша Попович срубил $z%$ от суммарного количества срубленных богатырями голов, тогда

x + y + z = 100.

Так как если бы Илья Муромец срубил голов вдвое больше, чем он срубил в итоге, то суммарное количество срубленных богатырями голов выросло бы на $45%$ , то:

2x + y + z = 145;

так как если бы вместо этого Алёша Попович срубил голов в четыре раза меньше, чем он срубил в итоге, то суммарное количество срубленных богатырями голов уменьшилось бы на $15%$ , то:

z x + y + --= 85. 4

Подставляя в $x + x + y + z = 145$ вместо $x + y + z$ значение 100, получаем: $x = 45$ .

Подставляя в $x + y + z − 0,75z = 85$ вместо $x + y + z$ значение 100, получаем: $z = 20$ .

Таким образом, $y = 35$ .

Ответ: 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1623

В среду молоко подорожало на $x$ процентов, а в четверг подорожало на $2x$ процентов. В результате молоко стало стоить на $15,5%$ дороже, чем стоило во вторник (до подорожания). На сколько процентов подорожало молоко в среду?

Показать ответ и решение

Пусть молоко стоило во вторник $S$ рублей.

После подорожания в среду молоко стало стоить

100-+--x 100 ⋅ S,

после подорожания в четверг молоко стало стоить

( ) 100-+-2x- 100-+-x- 100 ⋅ 100 ⋅ S = 1, 155 ⋅ S,

откуда $(100 + 2x ) ⋅ (100 + x ) = 11550$ , тогда $10000 + 300x + 2x2 = 11550$ .

Решая квадратное уравнение, находим $x1 = 5$ , $x2 = − 155$ . Поскольку $x > 0$ , то в среду молоко подорожало на $5%$ .

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1622

В среду молоко подорожало на $x$ процентов, а в четверг подешевело на $x$ процентов. В результате молоко стало стоить на $1%$ дешевле, чем стоило во вторник (до подорожания). На сколько процентов дешевле стало бы молоко по сравнению со вторником, если бы оно сначала в среду подешевело на $x$ процентов, а в четверг подорожало на $x$ процентов?

Показать ответ и решение

Пусть молоко стоило во вторник $S$ рублей.

После подорожания в среду молоко стало стоить

100-+--x 100 ⋅ S,

после подешевения в четверг молоко стало стоить

( ) 100-−-x- 100-+-x- 100 ⋅ 100 ⋅ S .

Если бы молоко сначала в среду подешевело на то же самое число процентов, а в четверг подорожало, то по аналогии оно стало бы стоить

( ) 100-+-x-⋅ 100-−-x-⋅ S , 100 100

то есть столько же, сколько оно стало стоить в первом сценарии. Значит, при втором сценарии оно стало бы дешевле тоже на $1%$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1621

В государстве $∇$ в 2014 году ЕГЭ по физике не сдали 1500 выпускников. В 2015 году число не сдавших выросло на 10 $%$ , а в 2016 году – увеличилось на 34 $%$ по сравнению с 2015 годом. Сколько выпускников не сдали ЕГЭ по физике в 2016 году в государстве $∇$ ?

Показать ответ и решение

В 2015 году число не сдавших составило $100% + 10% = 110%$ от числа не сдавших в 2014 году, тогда в 2015 году не сдали ЕГЭ по физике

110- 1500 ⋅100 = 1650 вы пускн иков.

В 2016 году число не сдавших составило $100% + 34% = 134%$ от числа не сдавших в 2015 году, тогда в 2016 не сдали ЕГЭ по физике

134 1650 ⋅---- = 2211 вы пускн иков. 100

Ответ: 2211

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1620

В государстве $π$ в 2012 году ЕГЭ по математике не сдали 20000 выпускников. В 2013 году число не сдавших уменьшилось на 5 $%$ , а в 2014 году – увеличилось на 17 $%$ по сравнению с 2013 годом. Сколько выпускников не сдали ЕГЭ по математике в 2014 году в государстве $π$ ?

Показать ответ и решение

В 2013 году число не сдавших составило $100% − 5% = 95%$ от числа не сдавших в 2012 году, тогда в 2013 году не сдали ЕГЭ по математике

-95- 20000 ⋅100 = 19000 вы пуск ников.

В 2014 году число не сдавших составило $100% + 17% = 117%$ от числа не сдавших в 2013 году, тогда в 2014 не сдали ЕГЭ по математике

117 19000 ⋅----= 22230 вы пускни ка. 100

Ответ: 22230

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#691

Кофта во вторник подорожала на $25%$ . На сколько процентов она должна была подешеветь в среду (относительно цены вторника), чтобы её цена стала первоначальной (как до повышения во вторник).

Показать ответ и решение

Пусть до вторника цена кофты была $R$ рублей, $R > 0$ , тогда во вторник она стала $1,25R$ рублей. Пусть в среду цена кофты уменьшилась на $x%$ , тогда

( ) 1,25R ⋅ 1 − -x-- = R ⇔ x = 20, 100

то есть кофта должна была подешеветь на $20%$ .

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#573

Антон, Максим, Игорь, Тимур и Костя купили $1000$ лотерейных билетов на общую сумму $30000$ рублей. На эту покупку Антон и Игорь дали в сумме $8100$ рублей, Максим дал $15%$ общей суммы, Тимур дал $0,3$ общей суммы, а оставшуюся часть общей суммы внёс Костя. Ребята договорились в случае выигрыша поделить деньги пропорционально внесенному в общую сумму вкладу. В итоге они выиграли в сумме $2000000$ рублей. Сколько рублей должен получить Костя?