Задачи повышенного уровня сложности —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Задачи повышенного уровня сложности

Тема 7. Преобразование числовых и буквенных выражений

7.12 Задачи повышенного уровня сложности

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела преобразование числовых и буквенных выражений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1893

Найдите значение выражения

---1√---+ √---1-√---+ ⋅⋅⋅ + √----1-√----- 1 + 2 2 + 3 99 + 100

Показать ответ и решение

Умножим каждую дробь на сопряженное к ее знаменателю:

$√ -- √-- √ -- √ ---- √ --- 2 − 1 3 − 2 100 − 99 -√-------√--------+ -√-----√----√-----√---+ ⋅⋅ ⋅ +-√-------√-----√-------√---- = ( 2 + 1 )( 2 − 1) ( 3 + 2)( 3 − 2) ( 100 + 99)( 100 − 99)$

$√ -- √ -- √ -- √ ---- √--- --2 −-1 --3-−---2 --100-−---99- = 2 − 1 + 3 − 2 + ⋅⋅⋅ + 100 − 99 =$

$√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- √ --- √ --- √ ---- √ --- = 2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3 + ⋅⋅⋅ + 99 − 98 + 100 − 99$

Заметим, что все слагаемые, кроме $− 1$ и $√ ---- 100$ , взаимно уничтожатся, то есть значение этого выражения равно

√ ---- − 1 + 100 = − 1 + 10 = 9

Ответ: 9

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1545

Найдите значение выражения $u + v − 4w + 1$ , если $3u + w = 15, 6v − 26w = 36$ .

Показать ответ и решение

$3u + w = 15$ равносильно $w u = 5 − -- 3$ .

$6v − 26w = 36$ равносильно $13 v = 6 + --w 3$ .

Тогда, подставив эти выражения в исходное, получим:

w 13 u + v − 4w + 1 = 5 − --+ 6 + --w − 4w + 1 = 12. 3 3

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#870

Найдите значение выражения

( ) 12- 13sin arcsin 13 + arccos0,6

Показать ответ и решение

Используя формулу $sin(α + β) = sinα cos β + sin β cosα$ , получим:

$( ) 12- 12- 12- 13sin arcsin13 + arccos0,6 = 13 sin (arcsin 13 )cos(arccos0,6) + 13 sin(arccos 0,6)cos (arcsin 13 ) =$

$12- 12- = 13 ⋅ 13 ⋅ 0,6 + 13sin(arccos0, 6)cos( arcsin 13)$

Обозначим $arccos0, 6 = α$ . Это значит, что $cos α = 0,6$ , причем $π 0 < α < -- 2$ . Значит

√ ---------- ∘ --------- sinα = 1 − cos2α = 1 − 0,36 = 0,8.

Таким образом, $sinα = 0,8$ ; следовательно, $sin(arccos0,6) = sinα = 0,8$ .

Аналогично, $12 12 π β = arcsin --- ⇒ sin β = ---, 0 < β < -- 13 13 2$ .

Значит, $∘ -------- ∘ ------2--- 144 5 cos β = 1 − sin β = 1 − ---- = ---; 169 13$ следовательно, $12 5 cos(arcsin ---) = cosβ = --- 13 13$ .

Значит, наше выражение равно:

12 5 56 13 ⋅---⋅ 0,6 + 13 ⋅ 0, 8 ⋅-= ---= 11,2. 13 13 5

Ответ: 11,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#594

Вычислить $∘ ∘---------- √ --- log4 log2 ----...--16 ◟ ◝4◜0 ◞$

Показать ответ и решение

Т.к. $∘ √--- √ -- 1- a = 22a = a 22$ , $∘ ∘-√--- √ -- -1 a = 23 a = a23$ , то

∘ ∘----√---- √ --- √ --- ... 16 = 240 16 = 240 24 = 22440-= 2 2138- ◟----◝◜---◞ 40

Значит,

( ) ( -1-) 1 ( −38) − 38 log4log2 2238 = log4 -38 = log22 2 = -----= − 19 2 2

Ответ: -19

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#75172

Хитрый Крампус засунул вам на седьмую позицию КИМа следующее выражение

( ( )) ----sin(π2-)---- ----π---- logπ arctg √−-2⋅13⋅3-+-81 + log√36(ππ).

Найдите его значение и гарантированно получите подарок на Новый Год! А если не найдёте... Познаете горечь нуля баллов за седьмой номер.

Показать ответ и решение

Преобразуем слагаемые по отдельности. Рассмотрим первое:

( ( )) ( ( ) ) log arctg √---sin(π2)----- = log arctg √1- = log ( π) . π − 2⋅13⋅3 + 81 π 3 π 6

Рассмотрим второе. По свойствам логарифмов $logabc = clogab$ и $logab = lo1g-a b$ имеем:

----π----= --π----= --1--= log 6. log√36(ππ) πlog6π log6 π π

Найдём сумму двух получившихся выражений используя формулу суммы логарифмов $logab + logac = logabc :$

( ) ( ) logπ π- + logπ6 = logπ 6π- = logππ = 1. 6 6

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1892

Найдите значение выражения $√ -- y + 3x$ , если $√ -- √ -- x2 + 2 3x + y − 4 y + 7 = 0$ .

Показать ответ и решение

Преобразуем данное равенство:

$-- -- -- x2 + 2√ 3x + y − 4√y-+ 7 = 0 ⇔ x2 + 2√ 3x + (√ 3)2 + y − 2 ⋅ 2√y-+ 22 = 0 ⇔$

$√ --2 √ -- 2 ⇔ (x + 3) + ( y − 2) = 0$

Т.к. квадрат любого выражения — число неотрицательное, то и сумма двух квадратов — число неотрицательное. Следовательно, в левой части равенства стоит число $≥ 0$ , причем равно нулю оно будет тогда и только тогда, когда равны нулю оба квадрата. Значит,

{ √ -- { √ -- x + 3 = 0 x = − 3 √y--− 2 = 0 ⇔ y = 4

Тогда $√ -- √-- √ -- y + 3x = 4 + 3 (− 3) = 1$ .

Ответ: 1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1543

Найдите значение выражения $ω(20172 ) + ω (− 20172 ) + 15$ , если $ω(ξ) = sinξ + ξ2017 + ξ2015 − ξ2013$ .

Показать ответ и решение

Так как $ω (ξ) = sin ξ + ξ2017 + ξ2015 − ξ2013$ , то при любом числе $ξ$ для числа $− ξ$ имеем:

$ω(− ξ) = sin(− ξ) + (− ξ )2017 + (− ξ)2015 − (− ξ)2013 = − sinξ − ξ2017 − ξ2015 + ξ2013 =$
$2017 2015 2013 = − (sin ξ + ξ + ξ − ξ ) = − ω (ξ).$

Тогда и для числа $ξ = 20172$ выполнено $ω(− 20172) = − ω(20172)$ , откуда

ω(20172) + ω (− 20172 ) + 15 = ω (20172) − ω(20172 ) + 15 = 15.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1541

Найдите $h(x(siny))$ , если $x(t) = arcsint$ , $√ ---- h (t) = cos2 t + 2 sin2 t − 30,5 ⋅ sin3t$ , $3√ -- y = arcsin ( 2)$ .

Показать ответ и решение

$√ ---- √ ---- h (t) = cos2t + 2sin2t − 30,5 ⋅ sin3 t = 1 + sin2 t − 30,5 ⋅ sin3t$ .

$h (x (t)) = 1 + sin2 (arcsint) − 3√0,-5 ⋅ sin3(arcsint) = 1 + t2 − √30,-5-⋅ t3$ .

$√3-- √3-- sin y = sin (arcsin( 2)) = 2$ .

Таким образом, при данных в условии значениях получим

h(x(siny)) = 1 + (√32-)2 − 3∘0,-5-⋅ ( 3√2-)3 = 1 + √34-− ∘30,-5 ⋅ 2 = 1 + 3√4-− √34-= 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1540

Найдите $f(g(2α ))$ , если $f (x) = (x − 1)2 + sinx$ , $g(y) = sin y − sin 3 ⋅ (sin2 y + cos2 3)$ , $α = 1,5$ .

Показать ответ и решение

Найдём $g(2α)$ , затем подставим результат в качестве аргумента функции $f$ :

g (2α ) = g(3) = sin 3 − sin 3 ⋅ (sin2 3 + cos23) = sin 3 − sin 3 ⋅ 1 = 0.

Теперь найдём $2 f (g(2α)) = f(0) = (0 − 1) + sin 0 = 1$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1512

Найдите $( ) ϕ 5-− z ----3------- ( 5) 2ϕ z + -- 3$ , если $√3--2------- ϕ(z) = 3z − 10z$ , $z > 101$ .

Показать ответ и решение

Подставим соответствующие выражения в качестве аргументов:

$∘ ----------------------------- ∘ ---------------------- ( 5 ) (5 ) ( ( 5 ) ) ( 5 ) ( 5 ) ϕ --− z = 3 --− z 3 --− z − 10 = 3 --− z 3 − --− z 3 3 3 3 3$ .

$∘ ---------------------------- ∘ ---------------------- ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ϕ z + 5- = 3 5-+ z 3 5-+ z − 10 = 3 5-+ z 3 − 5-+ z 3 3 3 3 3$ .

Отсюда можно сделать вывод, что $( ) ( ) ϕ 5-− z = ϕ z + 5- 3 3$ и значит при $z ⁄= − 5- 3$ , $z ⁄= 0$ выполнено

( ) ϕ 5-− z 3 1 --(-----5-)-= 2. 2ϕ z + -- 3

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1499

Найдите значение выражения

− g(x) + |g (x )| ⋅-∘-------g(x)-+∘-4---------- ( − g(x) − 2)( − g(x) + 2)

при тех значениях $x$ , при которых оно имеет смысл, если $g(x)$ – функция, область значений которой – множество всех действительных чисел $ℝ$ .

Показать ответ и решение

Чтобы выражение имело смысл необходимо, чтобы $∘ ------ − g(x)$ имело смысл, то есть нас не интересуют те $x$ , в которых $g(x) > 0$ . С учётом этого модуль раскрывается однозначно и выражение принимает вид:

g(x) + 4 − g(x) − g(x) ⋅-∘-------------∘------------. ( − g(x) − 2)( − g(x) + 2)

При тех $x$ , при которых оно имеет смысл, получим:

− g(x) − g(x) ⋅-g(x)-+-4- = − g(x) + g(x) = 0. − g(x) − 4

Ответ: 0

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1031

Найдите значение выражения

( ) ( ) log 1√- 2 ⋅ tg π − log√1 1 − tg2π- 3 6 3 6

Показать ответ и решение

( ) ( ) log-1- 2 ⋅ tg π − log -1- 1 − tg2π- = √3- 6 √3- 6 π 2tg -- ( π ) = log 1√--------6----= log√1-tg 2 ⋅-- = 3 1 − tg2 π- 3 6 6 π √ -- = log 1√-tg -- = log √1- 3 = − 1 3 3 3

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#925

Найдите значение выражения $a4 + a2b2 + b4$ , если $a$ и $b$ – различные корни уравнения $√ -- √ -- x2 − 47x − 3 7 = 0$ .

Показать ответ и решение

Выражение $a4 + a2b2 + b4$ представляет собой неполный квадрат суммы $a2$ и $b2$ . Тогда

a4 + a2b2 + b4 = (a2 + b2)2 − a2b2.

При этом $2 2 2 a + b = (a + b) − 2ab$ , тогда

4 2 2 4 2 2 22 a + a b + b = ((a + b) − 2ab) − a b.

По теореме Виета: $√ -- a + b = 47$ , $√ -- ab = − 3 7$ , тогда

√ -- √-- √ -- √ -- √ -- a4 + a2b2 + b4 = (( 47)2 − 2 ⋅ (− 3 7 ))2 − (− 3 7)2 = (7 7)2 − (− 3 7)2 = 280.

Ответ: 280

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#590

Найдите $g(1)$ , если $F (2x − 1) = 4x − 7$ и $F (g(x)) = x3$ .

Показать ответ и решение

Пусть $2x − 1 = a$ , тогда $x = a+21$ . Значит,

a-+-1- F (a) = 4 ⋅ 2 − 7 = 2a − 5

Тогда $F (g(x)) = 2g(x ) − 5 = x3$ , откуда $g(x) = 12 (x3 + 5)$ .

Значит, $1 g(1) = 2 (1 + 5) = 3$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#156

Найдите значение выражения

√ -- ------2--3-−-0,25-⋅ f-(x)------ (∘f-(x)-− √448-)(√448--+ ∘f-(x-))

при тех значениях $x$ , при которых оно имеет смысл, если $f(x )$ – функция, область значений которой – множество всех действительных не положительных чисел.

Показать ответ и решение

Так как область значений $f(x)$ – множество всех действительных не положительных чисел, то выражение будет иметь смысл только при $f(x) = 0$ (иначе $∘ ----- f (x)$ не имеет смысла).
При $f (x ) = 0$ имеем:

2√3-- 2 √3- 2√3-- ---√4-----√4---= -√----= − -√---= − 0,5. (− 48) ⋅ 48 − 48 4 3

Ответ: -0,5

Предыдущий раздел

Следующий раздел