Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)
3.01 Теорема о трех перпендикулярах
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2274

Дана пирамида SABC  с высотой SA.  Известно, что в основании лежит прямоугольный треугольник с прямым углом C.  Найдите угол между ребрами SC  и BC.  Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

PIC

Так как SA  — высота пирамиды, то SA ⊥ (ABC ).  Заметим, что AC  — проекция наклонной SC  на плоскость (ABC ).  Так как AC  ⊥ BC,  то по теореме о трех перпендикулярах SC ⊥ BC,  следовательно, угол между SC  и BC  равен   ∘
90 .

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2273

Пусть SABC  — правильная треугольная пирамида с вершиной S.  Найдите угол между AS  и BC.  Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Так как пирамида правильная, то высота пирамиды SO  падает в точку пересечения медиан основания. Пусть AA1  — медиана основания. Тогда AO  — проекция наклонной AS  на плоскость основания.

 

PIC

 

Так как AO  — часть AA1,  а AA1 ⊥ BC,  поскольку медианы правильного треугольника являются также и высотами, то по теореме о трех перпендикулярах имеем:

SO ⊥ (ABC ), AO ⊥ BC  ⇒   AS ⊥ BC

Следовательно, ∠(AS,BC )= 90∘.

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#968

Дана пирамида SABC  с высотой SA  , в основании которой лежит прямоугольный треугольник с прямым углом A  . Найдите угол между прямыми SB  и AC  . Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

PIC
 
Так как SA  – высота пирамиды, то SA  ⊥  (ABC   )  . Заметим, что AB  – проекция наклонной SB  на плоскость ABC  . Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах (так как SA  ⊥ (ABC   ),AB   ⊥ AC  ) наклонная SB  перпендикулярна AC  , то есть угол между ними равен      ∘
  90 .

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1876

Прямая a  лежит в плоскости π  , AO  ⊥ a  , AK   ⊥ π  . Точка K  лежит в плоскости π  , точка L  принадлежит прямой a  . Найдите AK  , если OK  = OL  ,       √ --
KL  =   6  , ∠AOK    = 60 ∘ .

Показать ответ и решение

PIC

 

Т.к. AK  – перпендикуляр к плоскости π  , a  – прямая в плоскости π  , а AO  – наклонная, перпендикулярная к прямой a  , то согласно теореме о трех перпендикулярах KO   ⊥ a  ⇒ △OKL  – равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом ∠KOL  ⇒ по теореме Пифагора     2       2      2         2
KL   =  OK   + OL   = 2 ⋅ OK   ⇒        √ --
OK   =   3  . В прямоугольном треугольнике △AKO  :                  ∘   √ --√ --
AK   = OK  ⋅ tg60 =    3 ⋅ 3 = 3  .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1875

Прямая a  лежит в плоскости π  , AO  ⊥ a  , AK   ⊥ π  . Точка K  лежит в плоскости π  , точка L  принадлежит прямой a  . Найдите AO  , если OK   = OL  ,         √ --
KL  =  2  2  , ∠AOK    = 60∘ .

Показать ответ и решение

PIC

 

Т.к. AK  – перпендикуляр к плоскости π  , a  – прямая в плоскости π  , а AO  – наклонная, перпендикулярная к прямой a  , то согласно теореме о трех перпендикулярах KO   ⊥ a  ⇒ △OKL  – равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом ∠KOL  ⇒ по теореме Пифагора     2       2      2         2
KL   =  OK   + OL   =  2 ⋅ OK   ⇒ OK   = 2  . В прямоугольном треугольнике △AKO  :                   ∘      1
AO  =  OK  : cos 60 = 2 :2 = 4  .

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#967

Дана пирамида SABC  с высотой SA  . H  – такая точка на AB  , что CH   ⊥ AB  . K  – такая точка на SB  , что HK  ⊥  SB  , причем SC  =  13  , SK  = 12  , KB   = 2  . Найдите площадь треугольника SBC  .

Показать ответ и решение

PIC
 
Так как SA  – высота пирамиды, то SA  ⊥ (ABC   )  . Следовательно, SA  перпендикулярно любой прямой из (ABC   )  , значит, SA  ⊥  CH  . Тогда CH  перпендикулярна двум пересекающимся прямым SA  и AB  из плоскости SAB  , значит, CH   ⊥ (SAB  )  .
Заметим, что тогда HK  – проекция наклонной CK  на эту плоскость. Значит, по теореме о трех перпендикулярах CK  ⊥  SB  .
По теореме Пифагора из △SCK  :

      √ ----2------2
CK  =   SC   − SK   =  5.
Следовательно,
S △SBC  = 1-CK  ⋅ SB =  1-⋅ 5 ⋅ 14 = 35.
          2             2
Ответ: 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#966

Дана пирамида SABC  с высотой SA = 8.  Известно, что SK  равно 10 и перпендикулярно BC = 5,  причем K  лежит на    BC.  Найдите площадь треугольника ABC.

Показать ответ и решение

Так как SA  — высота пирамиды, то SA ⊥ (ABC ).  Заметим, что AK  — проекция наклонной SK  на плоскость (ABC ).  Так как SK  ⊥BC,  то по теореме о трех перпендикулярах AK  ⊥ BC,  следовательно,

        1
S△ABC = 2AK ⋅BC

 

PIC

 

Треугольник SAK  прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора

      ∘----------
AK  =  SK2 − SA2 = 6

Тогда искомая площадь треугольника ABC  равна

S△ABC = 1 ⋅6⋅5= 15
        2
Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#898

Из точки N  на плоскость прямоугольника ABCD  опустили перпендикуляр N B  . Известно, что AD  =  7  , N A =  24  . Найдите N D  .

Показать ответ и решение

PIC

 

Так как N B  – перпендикуляр к плоскости (ABCD   )  , то AB  – проекция N A  на ABCD  . Так как ABCD  – прямоугольник, то AD  перпендикулярна BA  , следовательно по теореме о трех перпендикулярах AD  перпендикулярна N A  и треугольник N AD  – прямоугольный.

По теореме Пифагора

AD2  + N A2 =  N D2,
откуда N D2  = 625  , тогда N D =  ±25  . Так как длина – неотрицательна, то N D  = 25  .
Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#342

Прямые a  и b  перпендикулярны и лежат в плоскости π  . Прямая c  перпендикулярна прямой   b  и пересекает прямую a  в точке B  , а также пересекает прямую l  в точке C  , так что BC  = 8  . При этом прямая l  пересекает a  в точке A  так, что AB  =  6  , AC  = 10  . Найдите угол между прямыми b  и l  . Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

PIC

 

Так как AB2  + BC2  = AC2   , то отрезок BC  перпендикулярен AB  , следовательно прямая c  перпендикулярна a  , но c  перпендикулярна b  , a  и b  – пересекаются, тогда c  перпендикулярна      π  , следовательно AB  – проекция AC  на π  .

Итого: b  перпендикулярна проекции l  на π  , тогда по теореме о трех перпендикулярах b  перпендикулярна l  , то есть угол между ними составляет   ∘
90 .

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#341

Отрезки AB  и CD  перпендикулярны, отрезки DC  и N C  перпендикулярны. Отрезки AB  и   N C  перпендикулярны, AD  : AB  как 1 : 2  . Найдите

∠AN---D-
∠AN   B =  ?
Показать ответ и решение

PIC

 

Так как N C  перпендикулярен DC  и AB  , причём DC  и AB  пересекаются, то N C  перпендикулярен плоскости (ABC  )  . Тогда DC  – проекция N D  на (ABC   )  , но DC  перпендикулярен AB  , следовательно, по теореме о трех перпендикулярах N D  перпендикулярен AB  .

Так как AD  : AB  как 1 : 2  , то D  – середина AB  , тогда N  D  в треугольнике AN  B  является медианой и высотой, следовательно, треугольник AN  B  – равнобедренный и

          1-                    ∠AN--D--  1-
∠AN  D  = 2 ∠AN  B      ⇒       ∠AN  B  = 2 .
Ответ: 0,5
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!