Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)
3.03 Угол между прямой и плоскостью
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2290

Дан куб ABCDA1B1C1D1.  Найдите угол между прямой A1C1  и плоскостью (A1D1C ).  Ответ дайте в градусах.

PIC

Показать ответ и решение

Проведем C1H ⊥ CD1.  Так как BC ⊥ (CC1D1 ),  то прямая BC  перпендикулярна любой прямой из плоскости (CC1D1 ),  следовательно, BC ⊥ C1H.  Таким образом, C1H  перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости A1D1C,  следовательно, C1H ⊥ (A1D1C).

Тогда A1H  — проекция A1C1  на плоскость (A1D1C ).  Значит, угол между прямой A1C1  и плоскостью (A1D1C )  — это угол между прямыми A1C1  и A1H.

PIC

Пусть x  — ребро куба. Тогда имеем:

A1C1 = ∘x2+-x2 =√2x

Далее, C1H  — высота, опущенная к основанию равнобедренного △CC1D1.  Следовательно, C1H  — медиана. Но к тому же            ∘
∠CC1D1  = 90 ,  а медиана, опущенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно,        1
C1H  = 2CD1.  Кроме того, имеем:

                        √-
             √-         -2-
CD1 = A1C1 =  2x, C1H =  2 x

Тогда окончательно получаем

sin∠C1A1H  = C1H--= 1  ⇒   ∠C1A1H  =30∘
            A1C1   2
Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2264

Прямая l  перпендикулярна плоскости π  . Прямая p  не лежит в плоскости π  и не параллельна ей, также не параллельна прямой l  . Найдите сумму углов между прямыми p  и l  и между прямой   p  и плоскостью π  . Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Из условия следует, что прямая p  пересекает плоскостью π  . Пусть p ∩ l = O  , l ∩ π = L  , p ∩ π = P  .
 
PIC
 
Тогда ∠P OL  – угол между прямыми p  и l  .
Так как угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то ∠OP  L  – угол между p  и π  . Заметим, что △OP  L  прямоугольный с ∠L =  90∘ . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна   ∘
90 , то                      ∘
∠P OL  + ∠OP   L = 90 .

 

Замечание.
Если прямая p  не пересекает прямую l  , то проведем прямую p′ ∥ p  , пересекающую l  . Тогда угол между прямой p  и l  будет равен углу между p′ и l  . Аналогично угол между p  и π  будет равен углу между  ′
p и π  . А для прямой  ′
p уже верно предыдущее решение.

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2263

Прямая l  пересекает плоскость α  . На прямой l  отмечен отрезок AB  =  25  , причем известно, что проекция этого отрезка на плоскость α  равна 24  . Найдите синус угла между прямой l  и плоскостью α

Показать ответ и решение

Рассмотрим рисунок:
 
PIC
 
Пусть A1B1  = 24  – проекция AB  на плоскость α  , значит, AA1  ⊥ α  , BB1  ⊥  α  . Так как две прямые, перпендикулярные к плоскости, лежат в одной плоскости, то A1ABB1   – прямоугольная трапеция. Проведем AH  ⊥  BB1   . Тогда AH  = A1B1  =  24  . Следовательно, по теореме Пифагора

       √ ----2------2
HB   =   AB   − AH    = 7.
Заметим также, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, следовательно, искомый угол – угол между AB  и A1B1   . Так как AH  ∥ A1B1   , то угол между AB  и A  B
  1  1   равен углу между AB  и AH  .
Тогда
              BH      7
sin∠BAH    =  ---- = ---=  0,28.
              AB     25
Ответ: 0,28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2289

Чему равен ctg2α  , если α  – угол наклона диагонали куба к одной из его граней?

Показать ответ и решение

PIC

 

Искомый угол будет совпадать с углом между диагональю куба и диагональю любой его грани, т.к. в данном случае диагональ куба будет являться наклонной, диагональ грани – проекцией этой наклонной на плоскость грани. Таким образом, искомый угол будет равен, например, углу C1AC  . Eсли обозначить ребро куба за x  , то        √ --------  √ --
AC   =   x2 + x2 =   2x  , тогда квадрат котангенса искомого угла:

   2               2    √ --     2
ctg α = (AC  : CC1 ) = (  2x : x ) = 2.
Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2288

ABCDA1B1C1D1   – куб. Точка N  – середина ребра BB1   , а точка M  делит отрезок BD  в отношении 1 : 2  , считая от вершины B  . Найдите 9ctg2α  , где α  – угол между прямой, содержащей M  N  , и плоскостью (ABC  )  . Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

PIC

 

Так как N B  – часть BB1   , а BB1  ⊥ (ABC  )  , то и N B ⊥  (ABC  )  . Следовательно, BM  – проекция N M  на плоскость (ABC  )  . Значит, угол α  равен ∠N M  B  .

Пусть ребро куба равно x  . Тогда N B =  0,5x  . По теореме Пифагора        √ --------  √ --
BD   =   x2 + x2 =   2x  . Так как по условию BM   : M D = 1 : 2  , то BM   =  1BD
        3  , следовательно,        √-
BM  =  -2x
        3  .

Тогда из прямоугольного △N  BM  :

                     BM      2√2--
ctg α = ctg∠N  M B  = -----=  -----  ⇒    9ctg2α =  8.
                     N B      3
Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2287

ABCDA1B1C1D1   – куб. Точка N  – середина ребра BB1   , а точка M  – середина отрезка BD  . Найдите tg2α  , где α  – угол между прямой, содержащей M  N  , и плоскостью (A1B1C1D1   )  . Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

PIC

 

N M  – средняя линия в треугольнике DBB1   , тогда N M  ∥ B1D  и α  равен углу между B1D  и плоскостью (A1B1C1D1  )  .

Так как DD1   – перпендикуляр к плоскости A1B1C1D1   , то B1D1   проекция B1D  на плоскость (A1B1C1D1   )  и угол между B1D  и плоскостью (A1B1C1D1  )  есть угол между B1D  и B  D
  1  1   .

Пусть ребро куба x  , тогда по теореме Пифагора

     2    2    2                      √ --
B1D  1 = x +  x      ⇒      B1D1  =  x  2.
В треугольнике B1D1D  тангенс угла между B1D  и B1D1   равен                DD       1
tg∠DB1D1    = -----1 = √---=  tg α
              B1D1       2  , откуда tg2α =  1-
        2  .
Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2262

Дан треугольник ABC  с углом ∠A  =  60∘ . Вне плоскости треугольника отмечена точка O  такая, что OB  =  OC  и OB  ⊥ AB  , OC  ⊥ AC  . Известно, что        √ ---
OB   =   22  , OA  = 5  . Найдите косинус угла между прямой OA  и плоскостью треугольника.

Показать ответ и решение

Проведем OH  ⊥  (ABC  )  .
 
PIC
 
Тогда AH  – проекция прямой OA  на плоскость ABC  и необходимо найти косинус угла ∠OAH  .
Заметим, что △OAB    = △OAC  как прямоугольные по катету и гипотенузе. Следовательно, AB  = AC  . Следовательно, △ABH    = △ACH  также как прямоугольные по катету и гипотенузе. Значит,                        ∘
∠BAH    = ∠CAH    =  30 .
По теореме Пифагора

      √ ------------   √ --
AB  =   AO2  − OB2  =    3.
Следовательно,
      ∘   AB--               -AB----
cos30  =  AH    ⇒     AH  =  cos30∘ = 2.
Так как OH  ⊥ (ABC   )  , то OH  перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, значит, △OAH  – прямоугольный. Тогда
cos ∠OAH    = AH-- = 2-=  0,4.
              AO     5
Ответ: 0,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#958

ABC  – правильный треугольник со стороной 3  , O  – точка, лежащая вне плоскости треугольника, причем                      √ --
OA   = OB  = OC   = 2  3  . Найдите угол, который образуют прямые OA, OB,  OC  с плоскостью треугольника. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Проведем перпендикуляр OH  на плоскость треугольника.
 
PIC
 
Рассмотрим △OAH,    △OBH,   △OCH  . Они являются прямоугольными и равны по катету и гипотенузе. Следовательно, AH   = BH   = CH  . Значит, H  – точка, находящаяся на одинаковом расстоянии от вершин треугольника ABC  . Следовательно, H  – центр описанной около него окружности. Так как △ABC  – правильный, то H  – точка пересечения медиан (они же высоты и биссектрисы).
Так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, а AH  – проекция AO  на плоскость треугольника, то угол между AO  и плоскостью треугольника равен ∠OAH  .
Пусть AA
    1   – медиана в △ABC  , следовательно,

        ∘ ------------   3√3--
AA1  =    AB2  − BA21 =  ----.
                          2
Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1  , считая от вершины, то
                √ --
AH   = 2-AA1  =   3.
       3
Тогда из прямоугольного △OAH  :
            AH--   1-                    ∘
cosOAH   =  AO  =  2   ⇒    ∠OAH    =  60 .

 

Заметим, что из равенства треугольников OAH,  OBH,   OCH  следует, что ∠OAH    = ∠OBH    =  ∠OCH    = 60∘ .

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#602

Дан куб ABCDA1B1C1D1   . Точка C2   – середина стороны CC1   . Чему равен квадрат котангенса угла между A1C2   и плоскостью A1D1C  ?
 
PIC

Показать ответ и решение

Плоскость A1D1C  и плоскость D1C1C  перпендикулярны, т.к. плоскость A1D1C  проходит через прямую, перпендикулярную к плоскости D1C1C  (например A1D1   ). C1H1   и C2H2   – перпендикуляры к D1C  . Тогда искомый угол можно определить, как угол между наклонной A1C2   и ее проекцией A1H2   на плоскость A1D1C  .
 
PIC

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#601

Чему равен ctg2α  , если α  – угол наклона диагонали куба к одной из его граней?

Показать ответ и решение

PIC
 

          √ --
ctg2α =  (  2x : x)2 = 2.
Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2291

Дан куб ABCDA1B1C1D1   . Точка C2   – середина стороны CC1   . Чему равен квадрат котангенса угла между A1C2   и плоскостью A1D1C  ?
 
PIC

Показать ответ и решение

PIC

 

Проведем C2H  ⊥  CD1   . Так как BC   ⊥ (CC1D1  )  , то BC  перпендикулярна любой прямой из плоскости (CC1D1  )  , следовательно, BC  ⊥  C2H  . Таким образом, C2H  перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости A1D1C  , следовательно, C2H   ⊥ (A1D1C  )  .

Тогда A1H  – проекция A1C2   на плоскость A1D1C  . Значит, угол между A1C2   и плоскостью A  D  C
  1  1  равен углу между A  C
  1 2   и A  H
  1  .

Рассмотрим грань CC1D1D  . Проведем диагональ C1D  , пусть она пересекается с диагональю    CD1   в точке O  . Так как эта грань представляет собой квадрат, то C1O  ⊥  CD1   . Тогда C2H  ∥ C1O  и, так как C2   – середина CC1   , то C2H  – средняя линия и C2H  = 12C1O  .

Если обозначить за x  ребро куба, то C  D =  √x2-+--x2 = √2x-
  1  , а         √-
C H  =  -2x
 2      4  .
Найдем A1C2   из прямоугольного △A1C1C2   :

        ∘ --------------  ∘  -√---------------   3
A1C2  =   A1C21 + C1C22 =    (  2x)2 + (0,5x )2 =-x.
                                                 2

Тогда

                (      )2
sin2∠C  A  H  =   C2H---  =  -1-  ⇒    cos2 ∠C  A H  =  1 − sin2∠C  A H  = 17-
       2  1       A1C2       18                2  1                2 1     18

Тогда

ctg2∠C2A1H    = cos2∠C2A1H    : sin2 ∠C2A1H  =  17.
Ответ: 17
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!