Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)
3.08 Правильная и прямая призмы
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#20612

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A,C,A1,B1  правильной треугольной призмы ABCA1B1C1.  При этом площадь основания призмы равна 9, а боковое ребро равно 4.

PIC

Показать ответ и решение

Многогранник с вершинами A,C,A1,B1  — это треугольная пирамида. Тогда ее объем вычисляется по формуле

    1
V = 3Sh

Здесь S  — площадь основания, h  — длина высоты, опущенной на это основание.

При этом объем этой пирамиды равен объему пирамиды ABCA1.  Это так, поскольку у этих пирамид равные по площади основания AA1B1  и AA1B,  лежащие в одной плоскости, и общая вершина C.

Тогда объем пирамиды ABCA1  равен

    1             1
V = 3 ⋅SABC ⋅A1A = 3 ⋅9⋅4 = 12
Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#17746

Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

PIC

Показать ответ и решение

Площадь поверхности правильной призмы равна сумме площадей двух оснований и четырех боковых граней. Так как призма правильная, площадь каждого из ее оснований равна квадрату стороны основания. То есть

Sо = 202 = 400

Тогда суммарная площадь четырех боковых граней равна

4Sб = S − 2Sо

Здесь S  — площадь поверхности призмы, а Sб  — площадь одной боковой грани. Следовательно,

     S− 2S    1760 − 2 ⋅400  960
Sб = --4--о-= ----4------= -4-= 240

Площадь боковой грани равна произведению длин стороны основания и бокового ребра, поэтому боковое ребро равно 240 = 12.
 20

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#17299

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A,  B,  C,  C1  правильной треугольной призмы ABCA1B1C1,  площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.

 

PIC

Показать ответ и решение

Многогранник, вершинами которого являются точки A, B, C, C1  — это прямоугольная пирамида с △ ABC  в основании и высотой CC1 = 9.

 

PIC

 

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту, следовательно,

         1
VABCC1 = 3 ⋅6 ⋅9= 18
Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#75974

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B,C,A1,B1,C1  правильной шестиугольной призмы ABCDEF   A1B1C1D1E1F1,  площадь основания которой равна 6, а боковое ребро 3.

Показать ответ и решение

Объем призмы рассчитывается по формуле V = Sосн ⋅h.  Площадь треугольника ABC  (основания искомой призмы) составляет 1∕6  от площади правильного шестиугольника, значит

    1        1
V = 6 ⋅S ⋅h = 6 ⋅6⋅3 = 3.
Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#57720

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1,  площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A,  C,  A1,  B1,  C1.

PIC

Показать ответ и решение

Искомый объем равен разности объема призмы ABCA1B1C1  и объема треугольной пирамиды B1ABC.  Следовательно, этот объем равен

V = VABCA B C − VB ABC =
         1 1 1    1
= 8⋅6− 1 ⋅8 ⋅6= 2 ⋅8 ⋅6= 32
       3       3
Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2677

Дана прямая призма ABCDA1B1C1D1   , в основании которой лежит равнобедренная описанная около окружности трапеция ABCD  с боковой стороной AD  , равной 10  . Боковое ребро призмы равно    12  . Отрезок B1H  перпендикулярен прямой CD  и равен     ---
4 √ 13  , причем H  лежит на прямой CD  . Найдите объем призмы.

Показать ответ и решение

PIC
 
По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная B1H  перпендикулярна CD  , то и ее проекция BH  перпендикулярна CD  . Так как AD  – боковая сторона трапеции, то ее основания – это AB  и CD  . Следовательно, BH  по определению является высотой трапеции.
Заметим, что △BB1H  прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора

       ∘ -------------   ∘ --------------
              2      2       √ ---2     2
BH   =   B1H   −  BB 1 =   (4  13)  − 12  = 8.
Так как трапеция является описанной, то суммы ее противоположных сторон равны, следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон, значит, AB  +  CD  = AD  +  BC  = 10 + 10 = 20.  Значит, площадь трапеции равна
SABCD   = AB--+-CD-- ⋅ BH =  80.
               2
Тогда объем призмы равен
V =  80 ⋅ 12 = 960.
Ответ: 960

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2400

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1  известно, что DB1 = 2CD.  Найдите угол между диагоналями AC1  и B1D.  Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

PIC

Так как призма четырехугольная и правильная, то в основании лежит квадрат и она прямая. Следовательно, AD = CD  и DB1 = 2AD.

Диагонали призмы пересекаются и точкой пересечения O  делятся пополам, следовательно, OD = 12DB1 = AD.  Так как призма правильная, то диагонали равны, значит, AO = OD  = AD.  Следовательно, △AOD  правильный и ∠AOD  = 60∘.  Это и есть угол между DB1  и AC1.

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2399

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1,  все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA1  и CB1.  Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

PIC

Для того, чтобы найти угол между прямыми, не лежащими в одной плоскости, нужно одну из прямых параллельно перенести в плоскость, в которой лежит вторая прямая. Заметим, что BB1 ∥AA1,  следовательно, угол между прямыми BB1  и CB1  и есть угол между прямыми AA1  и CB1.

Поскольку все ребра призмы равны, то грань BCC1B1  представляет собой квадрат, где CB1  — диагональ. Тогда ∠BB1C  = 45∘.

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2377

Диагональ правильной четырехугольной призмы равна  √ --
4  2  и составляет с плоскостью боковой грани угол 30∘ . Найдите объем призмы.

Показать ответ и решение

PIC
 
Так как призма правильная, то она является прямой, а в основании лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат.
Пусть          √ --
A1C  =  4  2  . Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Так как призма правильная, то ABCD  – квадрат и все боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, CD   ⊥ AD  и CD  ⊥  DD1   , следовательно, по признаку CD   ⊥ AA  D  D
           1 1  . Следовательно, A D
 1  – проекция AC  на грань AA  D  D
   1  1  . Следовательно,              ∘
∠CA1D    = 30 .
△CA1D  прямоугольный,        1         √ --
CD   = 2A1C  =  2  2  как катет, лежащий против угла   ∘
30 . Тогда A1D2  =  A1C2 −  CD2  = 24  . Следовательно, по теореме Пифагора из прямоугольного △A1AD  (AD  =  CD  ):

          -------------
AA   =  ∘ A  D2 − AD2  =  4.
    1       1
Следовательно, объем призмы равен
V  = AD2  ⋅ AA1 =  32.
Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2269

Дана прямая призма ABCDA1B1C1D1   , в основании которой лежит равнобедренная трапеция ABCD  , у которой AB  =  BC  = CD  , а острый угол при основании AD  равен 60∘ . Пусть O  – точка пересечения продолжений боковых сторон основания призмы. Найдите, отношение объема призмы ABCDA1B1C1D1   к объему прямой призмы, основанием которой является треугольник AOD  , если эти призмы имеют равные высоты.

Показать ответ и решение

PIC
 
Из условия следует, что нужно найти

VABCDA1B1C1D1
---------------
 VAODA1O1D1
Так как AD  ∥ BC  и трапеция равнобедренная, то ∠OBC    = ∠OCB    = ∠OAD    = 60∘ . Следовательно, △OBC  равнобедренный с углом при основании 60∘ , значит, равносторонний. Значит, OB  =  OC  = BC   = AB  = CD  . Также △OBC    ∼ △OAD  , причем коэффициент подобия равен 1
2   . Следовательно,         1
SOBC  = 4SOAD  . Тогда          3
SABCD  = 4SOAD  . Значит
V                  AA  ⋅ S        3
--ABCDA1B1C1D1- =  ---1---ABCD--= --=  0,75.
  VAODA1O1D1       AA1  ⋅ SOAD    4
Ответ: 0,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#962

Дана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренная описанная около окружности трапеция ABCD  с боковой стороной, равной 5  , и высотой, равной 3  . Боковое ребро призмы равно 2  . Найдите площадь полной поверхности призмы.

Показать ответ и решение

PIC
 
Пусть AB  =  CD  = 5  . Так как трапеция описанная, то суммы противоположных сторон равны, следовательно, AD  +  BC  = AB  + CD   = 10  . Следовательно, ее площадь равна

          AD  +  BC        10
SABCD   = ---------- ⋅ h = ---⋅ 3 = 15.
               2           2
Площадь боковой поверхности призмы равна
S ′ = (AB + BC  +  CD  + AD  ) ⋅ AA1 = (10 + 10) ⋅ 2 = 40.
Следовательно, площадь полной поверхности равна
S пов-ти = 40 + 15 + 15 = 70.
Ответ: 70

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#961

Дана правильная четырехугольная призма, диагональ которой равна 15  , а диагональ основания равна   √ --
10  2  . Найдите площадь полной поверхности призмы.

Показать ответ и решение

PIC
 
Пусть ABCDA1B1C1D1   – данная призма. Так как она правильная, то в основании лежит квадрат и она является прямой. Тогда △BB1D  прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора

       ∘  ---------√----
BB1  =    152 − (10   2)2 = 5.
Так как диагональ квадрата в √ --
  2  раз больше его стороны, то
      BD---
AB  =  √ 2 = 10.
Следовательно,
                                     2
S пов-ти = 2SABCD  + 4SAA1D1D  = 2 ⋅ 10 + 4 ⋅ 10 ⋅ 5 = 400.
Ответ: 400

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#580

Дана правильная треугольная призма. Площадь основания равна площади одной из боковых граней и равна  √ --
4  3  . Найдите объем призмы.
 
PIC
 

Показать ответ и решение

Так как призма является правильной, то в основаниях призмы лежат равносторонние треугольники, поэтому все боковые грани равны друг другу и являются прямоугольниками. Обозначим высоту призмы за h  , а сторону правильного треугольника за x  . Тогда найдем площадь основания:
                               √ --   √ --       √ --
S осн. = 1-⋅ x2 ⋅ sin 60∘ = 1-⋅ x2 ⋅-3-=--3⋅ x2 = 4  3
        2               2       2      4  ⇒ x2 =  16  ⇒ x = 4  . Высоту выразим из формулы для площади боковой грани:      √ --
S = 4  3 = x ⋅ h = 4 ⋅ h  ⇒     √ --
h =   3  . Наконец, найдем объем призмы:

               √ --  √ --
V  = h ⋅ S   =   3 ⋅ 4 3 = 12.
         осн.
Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#579

В прямой треугольной призме все боковые грани являются квадратами со стороной   √ --
10  3  . Найдите объем призмы.

Показать ответ и решение

У квадрата все стороны равны ⇒ в основаниях призмы лежат равносторонние треугольники со сторонами, равными   √ --
10  3  .
 
PIC

 

Тогда площадь основания:
                                                     --
        1    √ --   √ --          1    √ --   √ -- √ 3      √ --
S осн. = --⋅ 10 3 ⋅ 10 3 ⋅ sin 60∘ =--⋅ 10 3 ⋅ 10 3 ⋅----= 75   3
        2                         2                 2  . Высота призмы равна стороне квадрата, тогда объем призмы:

  √ --   √ --
10  3 ⋅ 75 3 = 2250.
Ответ: 2250

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#346

ABCA1B1C1   – прямая треугольная призма с основаниями ABC  и A1B1C1   , причем ∠A1C1B1   =  90∘ . Точки M  и N  середины рёбер AA1   и CC1   соответственно. Найдите угол между плоскостями (M  N B)  и (ABC   )  , если AB  = 5  , AC  =  3  ,          ----
AA1  = √ 128 − 8  . Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

PIC

 

Прямая l  , параллельная AC  и проходящая через точку B  , параллельна и M N  (так как M  N ∥ AC  ). Таким образом, l  лежит в плоскости (ABC   )  и в плоскости (M  N B )  .

При этом CB  перпендикулярен AC  , следовательно, CB  перпендикулярен l  . По теореме о трёх перпендикулярах N B  также перпендикулярен l  , тогда искомый угол равен ∠N  BC  .

По теореме Пифагора в треугольнике ABC  : BC   = 4  ,

N C  =  1CC   = 1-AA   = 1-(√128--− 8 ) = 1(8√2--− 8) = 4√2--− 4,
        2   1   2    1   2               2
тогда
              √--                                                              √ --          √ --
            4--2-−-4-   √ --                             --2tg∠N--BC----   ---2--2 −-2---   2--2-−-2-
tg∠N  BC  =     4    =    2− 1     ⇒      tg(2∠N  BC ) = 1 − tg2∠N  BC  =  1 − (√2-−  1)2 = 2√2--− 2 = 1,
то есть               ∘
2∠N  BC  =  45 , откуда                ∘
∠N  BC  =  22,5 .
Ответ: 22,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#345

ABCA1B1C1   – правильная треугольная призма,       √4--
AB  =   3  ,         4√ ---
AA1  =    27  . Найдите площадь полной поверхности призмы.

Показать ответ и решение

PIC

 

Площадь равностороннего треугольника со стороной a  равна  2√ --
a---3-
  4  , тогда

                    4√ --2√--   √ -- √ --
SABC  = SA  B C =  (--3)--3-=  --3-⋅--3 = 3-,
           1 1 1       4          4       4  √ --- √ --  √ ---
SAA C C =  SCC B B =  SAA B B =  AA1  ⋅ AB =  427 ⋅ 43 =  481 = 3.
    1 1        1 1        1 1

Таким образом, площадь полной поверхности ABCA1B1C1   равна

   3
2 ⋅-+  3 ⋅ 3 = 10,5.
   4
Ответ: 10,5
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!