Конус —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)

3.12 Конус

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#588

Площадь боковой поверхности конуса равна $48π,$ а площадь боковой поверхности усеченного конуса с такими же большим основанием и углом наклона образующей к плоскости основания равна $36π.$ Найдите высоту усеченного конуса, если высота исходного конуса равна 10.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь боковой поверхности меньшего конуса, который дополняет усеченный конус до полного, равна разности их площадей поверхностей:

S = 48π − 36π = 12π мал

Отношение площадей боковых поверхностей большого и малого конусов равно квадрату коэффициента подобия треугольников, являющихся осевыми сечениями этих конусов:

k2 = Sбол-= 48π = 4 ⇒ k = 2 Sмал 12π

$PIC$

Тогда отношение высот конусов равно коэффициенту подобия:

-10-= hбол =k = 2 hмал hмал

Отсюда найдем высоту малого и усеченного конусов:

hмал = 5 ⇒ hусеч = hбол− hмал =10 − 5 = 5

Ответ: 5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#587

Площадь боковой поверхности конуса равна $48π,$ а площадь основания равна $36π.$ Найдите длину образующей конуса.

Показать ответ и решение

Если радиус окружности, лежащей в основании конуса, обозначить за $r,$ а длину образующей за $l,$ то площадь основания и площадь боковой поверхности конуса выразятся по формулам:

2 Sосн. = πr, Sбок.пов. = πrl

Из первой формулы получаем:

2 2 πr = 36π ⇒ r = 36 ⇒ r = 6

Из второй формулы получаем:

6πl = 48π ⇒ 6l = 48 ⇒ l = 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#75983

Длина образующей конуса равна 41, а высота 9. Чему равна площадь осевого сечения этого конуса?

Показать ответ и решение

$PIC$

Осевое сечение конуса — треугольник $N SK.$ Найдем радиус основания конуса из прямоугольного треугольника $SOK :$

∘ ---------- ∘ ------- √ --------- OK = SK2 − SO2 = 412 − 92 = 1681 − 81 = 40,

N K = 2 ⋅OK = 80,

aha- N-K-⋅SO- 80⋅9- SNSK = 2 = 2 = 2 = 360.

Ответ: 360

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#75982

Образующая конуса равна 10, длина окружности основания конуса равна 6. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Показать ответ и решение

Площадь боковой поверхности конуса рассчитывается по формуле

S = πRl,

где $R$ — радиус основания конуса, $l$ — длина образующей. Длина окружности основания конуса равна

L = 2πR,

значит

L πR = --. 2

Тогда

L- 6 S = πRl = 2 ⋅l = 2 ⋅10 = 30.

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#57725

Высота конуса равна 16, а диаметр основания равен 60. Найдите длину образующей конуса.

$PIC$

Показать ответ и решение

Высота конуса, радиус основания и образующая составляют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. Следовательно, по теореме Пифагора она равна

∘ -------- 162+ 302 = 34.

Ответ: 34

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1671

Радиусы оснований усечённого конуса равны

r = √-2√--- и R = √-10√--, 4 2 π 42 π

а угол между его образующей и основанием равен $∘ 45$ . Найдите площадь боковой поверхности этого усечённого конуса.

Показать ответ и решение

Обозначим центры оснований усечённого конуса через $A$ и $E$ , так что $A$ – центр большего основания. Отметим на большем основании точку $C$ , а точку меньшего основания, через которую проходит образующая, выходящая из $C$ , обозначим через $D$ .

$PIC$

Высота $AE$ и образующая $CD$ лежат в одной плоскости. Обозначим точку их пересечения через $B$ .

Так как $AE$ – высота, то $AE ⊥ CD$ и $AE ⊥ AC$ .

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BAC$ :
в нём $∠BCA = 45∘$ , тогда

√ -- 10 √ -- 10 2 AB = R = 4√--√--, BC = R 2 = 4√--√--. 2 π 2 π

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BED$ :
так как $∠EBD = 45∘$ , то

√ -- --2---- √ -- -2--2-- BE = r = 4√ -√ -, BD = r 2 = √4-√ --, 2 π 2 π

тогда $EA = AB − BE = R − r$ , $√ -- √-- √-- DC = BC − BD = R 2 − r 2 = 2 (R − r)$ .

S бок = π (R + r) ⋅ I,

где $I$ – образующая, тогда

√ -- √ -- √ -- ( 100 4 ) S бок = π (R + r) ⋅ 2 (R − r) = 2π(R2 − r2) = 2π √----− √---- = 96. 2π 2π

Ответ: 96

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#347

На высоте конуса с вершиной $A$ , центром основания $C$ и радиусом основания $R = 4$ отметили точку $E$ такую, что расстояние от неё до основания равно $√ -- 3(4 − π− 0,5)$ . Известно, что угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $60 ∘$ . Найдите площадь сечения $T$ конуса, проходящего через точку $E$ и параллельного основанию конуса.

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим треугольник $ABC$ , где $B$ – некоторая точка на окружности основания. Так как $AC$ – высота конуса, то $AC ⊥ CB$ , тогда $∠CAB = 90∘ − ∠ABC = 30∘$ , следовательно, $AB = 2CB = 8$ . По теореме Пифагора