Вписанные и описанные тела —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)

3.17 Вписанные и описанные тела

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2401

Куб описан около сферы радиуса 3. Найдите объем куба.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как сфера вписана в куб, то сторона куба равна диаметру сферы. Следовательно, сторона куба равна $2⋅3 = 6.$ Тогда объем куба равен $63 = 216.$

Ответ: 216

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#21444

Около конуса описана сфера, то есть сфера содержит окружность основания конуса и его вершину. Центр основания конуса совпадает с центром сферы, а ее радиус равен $√ - 10 2.$ Найдите образующую конуса.

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольник $AOB,$ где точка $O$ — центр сферы, точка $A$ принадлежит окружности основания конуса, точка $B$ — вершина конуса. Тогда $AB$ — это образующая конуса.

$PIC$

Так как центр сферы совпадает с центром основания конуса, то $BO$ — высота конуса и $BO ⊥ AO.$ Кроме того, $AO$ и $BO$ — радиусы сферы. Тогда для треугольника $AOB$ по теореме Пифагора имеем:

AB2 = AO2 +BO2 √-------- AB = 200+ 200= 20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#19487

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.

$PIC$

Показать ответ и решение

Объём конуса равен

1 Vк = 3Sh

Здесь $S$ — площадь основания конуса, $h$ — его высота.

Объём цилиндра равен

Vц = Sh

Здесь $S$ — площадь основания цилиндра, $h$ — его высота.

По условию конус и цилиндр имеют общие основание и высоту, тогда

V = 3V = 3⋅25 =75 ц к

Ответ: 75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#75979

Шар, площадь поверхности которого равна $28π$ , вписан в куб. Найдите площадь поверхности куба.

Показать ответ и решение

ребро куба $a = 2R,$ площадь поверхности куба

Sкуба = 6a2 = 6(2R)2 = 6 ⋅4R2 = 24R2.

Площадь поверхности шара

Sш ара = 4πR2 = 28π,

R2 = 7,

Sкуба = 24⋅7 = 168.

Ответ: 168

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#75978

Конус с образующей $3√2$ вписан в сферу так, что сфера содержит основание конуса и его вершину. Центр основания конуса совпадает с центром сферы. Найдите радиус сферы.

Показать ответ и решение

$PIC$

Точка $S$ — центр сферы. В прямоугольном треугольнике $N SK$ $SK = NS = R.$ В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза в $√ - 2$ раз больше катета, поэтому катет

√- SK = N√K- = 3√-2-= 3. 2 2

Радиус сферы равен катету $R = SK = 3.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#75977

В цилиндр объемом 15 вписан шар, найдите его объём.

Показать ответ и решение

$PIC$

Объем цилиндра

Vц = Sосн ⋅H = πR2H.

Объём шара

4 V ш = -πR3. 3

Высота цилиндра в 2 раза больше радиуса шара, то есть $H = 2R.$ Тогда

Vц = πR2H = πR2 ⋅2R = 2πR3,

отсюда

V πR3 = -ц-, 2

V = 4πR3 = 4 ⋅ Vц-= 4 ⋅ 15= 10. ш 3 3 2 3 2

Ответ: 10

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#22838

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 16. Найдите объём цилиндра.

$PIC$

Показать ответ и решение

Объём конуса равен

1 Vк = 3Sh,

где $S$ — площадь основания конуса, $h$ — его высота.

Объём цилиндра равен

Vц = Sh,

где $S$ — площадь основания цилиндра, $h$ — его высота.

По условию конус и цилиндр имеют общие основание и высоту, тогда

Vц = 3Vк = 3⋅16= 48

Ответ: 48

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#22193

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 26. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь поверхности шара по формуле равна $S = 4πR2,$ что по условию равно 26. Заметим, что радиус шара и радиус основания цилиндра совпадают, а высота цилиндра в два раза больше радиуса. Тогда площадь боковой поверхности цилиндра равна

S1 = 2πR⋅2R = 4πR2

Площадь основания цилиндра равна $2 πR ,$ тогда площадь полной поверхности цилиндра равна

S1+ 2⋅πR2 = 6πR2 = 1,5S1 = 1,5 ⋅26 = 39

Ответ: 39

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#22191

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 19. Найдите объём шара.

$PIC$

Показать ответ и решение

Поскольку радиус основания конуса равен радиусу шара, это значит, что основанием конуса служит большой круг шара, то есть круг, который содержит в себе центр шара. Таким образом, высота такого конуса так же равна радиусу шара $R.$ По формуле объёма конуса получим

V = 1πR3 конус 3

При этом объём шара равен $4πR3, 3$ то есть в 4 раза больше:

Vшар = 19⋅4 =76

Ответ: 76

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#22190

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $√ - 27 2.$ Найдите площадь боковой поверхности конуса.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $Sбок ц. = 2πRh$ , где $R$ — радиус основания, $h$ — высота цилиндра. Площадь же боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $Sбок к. = πRl$ , где $R$ — радиус основания, $l$ — образующая конуса. В данной нам задаче $h = R$ . Выразим теперь $l$ через $R$ . На картинке это образующая $OA$ , которую можно вычислить по теореме Пифагора для треугольника $AOH$ : $√----------- √ ------- √- OA = OH2 + HA2 = R2 + R2 = R 2$ . Получим, что площадь боковой поверхности цилиндра равна $Sбок ц. = 2πRh = 2πR2$ , а площадь боковой поверхности конуса равна $√ - Sбок к. = πRl = 2πR2$ , то есть площадь боковой поверхности конуса в $√- 2$ раз меньше, чем площадь боковой поверхности цилиндра, то есть равна $√ - 27--2 √2- = 27$ .

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#17237

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объем конуса равен 19. Найдите объем цилиндра.

$PIC$

Показать ответ и решение

Обозначим через $S$ площадь круга-основания, через $h$ — высоту цилиндра.

Тогда объем цилиндра равен

1 Vцилиндра = Sh = 3⋅3Sh = 3⋅Vконуса = 57

Ответ: 57

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#16746

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть радиус шара равен $R.$ Тогда высота цилидра равна $2R,$ а радиус равен $R,$ так как шар вписан в цилиндр. Выразим площади поверхностей цилиндра и шара через $R.$ По формуле площади поверхности цилиндра имеем:

2 Sц = 2Sосн+ Sб =2πR + 2R⋅2πR = = 2πR2 +4πR2 = 6πR2

Следовательно,

2 S-ц 18 πR = 6 = 6 = 3

По формуле площади поверхности шара получаем

Sш = 4πR2 =4 ⋅3= 12

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2403

Шар вписан в куб, площадь поверхности которого равна $9- π .$ Найдите площадь поверхности шара.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как шар вписан в куб, то сторона куба равна диаметру шара. Так как все грани куба – равные квадраты, то площадь одной грани равна $9:6 = 3-= a2, π 2π$ где $a$ — сторона куба. Следовательно, радиус шара равен половине от $a:$ $R = 1a. 2$ Значит, $R2 = 14a2 = 83π.$ Тогда площадь поверхности шара равна

2 3 S = 4πR = 4⋅π ⋅8π = 1,5

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2398

Дан шар, диаметр которого равен $9$ . Плоскость $α$ пересекает диаметр $SZ$ шара под углом $90 ∘$ и делит его точкой пересечения в отношении $1 : 2$ , считая от вершины $S$ . Найдите объем пирамиды с вершиной в точке $S$ , в основании которой лежит квадрат, вписанный в сечение шара плоскостью $α$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $O$ – центр шара, $Q$ – точка пересечения $SZ$ и плоскости $α$ . Пусть $SABCD$ – пирамида, объем которой нужно найти.
Рассмотрим сечение шара плоскостью $ASC$ .

$PIC$

Так как $SQ : QZ = 1 : 2$ , то $SQ : SZ = 1 : 3$ , следовательно, $SQ : SO = 2 : 3$ , следовательно, $OQ : SO = 1 : 3$ . Тогда

∘ -------(------)-- √ -- √ -- ∘ ------------ 1 2 2 2 2 2 9 √-- AQ = AO2 − OQ2 = AO2 − -AO = ----AO = -----⋅--= 3 2 3 3 3 2

Следовательно, $√ -- AC = 6 2$ . Следовательно, $√ -- AB = AC : 2 = 6$ .
Также

2 2 9 SQ = -SO = --⋅--= 3 3 3 2

Заметим, что $SQ$ – высота пирамиды, так как $SQ ⊥ α$ . Следовательно,

V = 1-⋅ SQ ⋅ AB2 = 36. 3

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2249

У правильной четырёхугольной призмы $ABCDA1B1C1D1$ сторона основания равна $√-- 2 3$ , а площадь одной из боковых граней равна $12$ . Найдите радиус сферы, описанной около $ABCDA1B1C1D1$ .

Показать ответ и решение

Так как данная четырёхугольная призма – правильная, то её боковые грани – прямоугольники, следовательно, боковое ребро этой призмы (например, $BB1$ ) равно $√ -- √ -- 12 : (2 3) = 2 3$ .

$PIC$

Пусть точка $O$ – середина $B1D$ , тогда $O$ – центр описанной около $ABCDA1B1C1D1$ сферы. Тогда искомый радиус равен половине $B D 1$ .

Так как $BD$ – диагональ квадрата со стороной $√ -- 2 3$ , то $√ -- √ -- √ -- BD = 2 3 ⋅ 2 = 2 6$ . По теореме Пифагора $2 2 2 B1D = BD + B1B$ , тогда

√ -- √ -- B1D2 = (2 6)2 + (2 3)2 = 24 + 12 = 36 ,

откуда находим: $B1D = 6$ , следовательно, искомый радиус равен $6 : 2 = 3$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2245

$SABCD$ – прямоугольная пирамида, вписанная в цилиндр, а $ABCD$ – квадрат, $SB$ – высота. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $36π$ , а его объем равен $72 π$ . Найдите объем пирамиды.

$PIC$

Показать ответ и решение

Если разделить объем цилиндра на площадь боковой поверхности, то можно найти радиус окружностей, лежащих в основаниях цилиндра:

--Vцил.- πR2H--- R- 72π- S = 2πRH = 2 = 36π = 2 бок.пов.

$⇒$ $R = 4$ . Зная радиус, можно выразить высоту: $2π4H = 36π$ $⇒$ $H = 4,5$ . Так как точка пересечения диагоналей квадрата совпадает с центром описанной вокруг него окружности, то диагональ квадрата равна диаметру окружности. Площадь квадрата можно найти как половину произведения диагоналей, тогда объем пирамиды равен:

1- 1- 1- 1- 2 VSABCD = 3H 2(2R )(2R ) = 3 4,52 8 = 48

Ответ: 48

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1889

Найдите объем вписанной в сферу правильной четырехугольной призмы, две грани которой отсекают от сферы сегменты с высотой $1- h = 4R$ ( $R$ – радиус сферы) и объемом $11π- 3$ .

$PIC$

Показать ответ и решение

$( ) ( )2 ( ) V = πh2 R − 1h = π 1R R − 1-1R = π --11--R3 = 11-π сегм. 3 4 3 4 16 ⋅ 12 3$ $⇒$ $R = 4$ . Чтобы найти объем параллелепипеда, найдем площадь грани параллелепипеда, которая вписана в окружность основания сегмента, и умножим ее на длину ребра, перпендикулярного этой грани. Грань, вписанная в окружность основания сегмента, является квадратом. Можем найти диагональ этого квадрата.

$PIC$

Половину диагонали найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника: $( )2 ( )2 2 1- d- R = R − 4 R + 2$ $⇒$ $√ -- d = 2 7$ $⇒$ $( ) 1-2 3- 1- 3- V = 2d 2 4R = 2 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅2 ⋅ 4 = 84$ .

Ответ: 84

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1672

В основание $ABC$ треугольной пирамиды $ABCD$ вписан круг $L$ , а проекция её вершины $D$ на плоскость основания совпадает с центром вписанной окружности. Известно, что объём пирамиды равен $4,5$ , периметр основания

2π h 21 P = ---, --= --, 7 r 8π

где $h$ – высота пирамиды, а $r$ – радиус $L$ . Найдите объём конуса с вершиной $D$ и основанием $L$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как площадь треугольника равна полупроизведению периметра на радиус вписанной окружности, то:

1- 1- PABC-- VABCD = 3 ⋅ SABC ⋅ h = 3 ⋅ 2 ⋅ r ⋅ h,

но $h- = 21- r 8π$ , то есть $h = -21r 8 π$ , откуда $2 1-⋅ PABC-⋅ r ⋅ h = 7r-⋅-π-= 4,5 3 2 7 ⋅ 8π$ , тогда $r2 = 36$ , значит, $r = 6$ .

$h = 21-r = 63- 8π 4π$ , следовательно, $V = 1π ⋅ r2h = 1π ⋅ 63 ⋅ 36 = 189 кон 3 3 4π$ .

Ответ: 189

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1664

Центр большего основания усечённого конуса совпадает с центром сферы, а окружность его меньшего основания лежит на сфере. Отрезки $BC$ и $AD$ – диаметры меньшего и большего оснований этого усечённого конуса соответственно, $BC ∥ AD$ ,

210 r 1 SABCD = 3√--2, R- = √----, π 15

где $R$ и $r$ – радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса соответственно, $∠ADC = 45∘$ . Найдите объём шара, ограниченного данной сферой.

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим $ABCD$ : т.к. $BC ∥ AD$ , то $ABCD$ – трапеция. Так как $AB$ и $CD$ – образующие усечённого конуса, то $AB = CD$ и трапеция $ABCD$ – равнобедренная.

$PIC$

Построим $CH ⊥ AD$ . Так как $∠ADC = 45∘$ , то $△CHD$ – равнобедренный и $CH = HD$ .

AD − BC BC + AD 2 2 210 HD = ---------- = R − r, SABCD = ---------- ⋅ CH = (R + r)(R − r) = R − r = 3√--2, 2 2 π

но $r = √R--- 15$ , тогда

( ) 2 -1- 210-- 15-- 4- 3 4- 153- R 1 − 15 = 3√ -2- ⇒ R = 3√ π- ⇒ Vшара = 3 πR = 3 ⋅ π ⋅ π = 4500. π

Ответ: 4500

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1063

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, объем которого равен $7 π$ . Найдите объем призмы.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как четырехугольная призма правильная, то в основании лежит квадрат. Пусть радиус основания цилиндра равен $R$ , а сторона основания призмы $a$ . Тогда $a = 2R$ . Пусть $h$ – высота цилиндра. Тогда боковое ребро призмы также равно $h$ . Следовательно, объем цилиндра

2 2 2 Vц = πR ⋅ h ⇒ 7π = πR ⋅ h ⇒ R ⋅ h = 7

Объем призмы:

V = a2h = (2R )2h = 4R2h = 4 ⋅ 7 = 28. п

Ответ: 28

Предыдущий раздел

Следующий раздел