работают лучшие ДИРЕКТОРА — верно; для слова «директор» в форме множественного числа именительного падежа единственным нормативным вариантом окончания является -А; запомнить

много РУМЫН — верно; существительные, обозначающие название национальностей и оканчивающиеся на -Н, обычно имеют нулевое окончание

к ДВЕ тысячи двенадцатому году — верно; в составных порядковых числительных изменяется по падежам только последнее слово 

он обязательно ВЫЗДОРОВЕЕТ — верно; образование форм этого глагола следует запомнить (ты выздоровеешь, он выздоровеет, я выздоровею и т.д.)

с ВОСЬМИСТАМИ сотрудниками — неверно; при склонении сложных количественных числительных изменяются обе части (с кем? чем? – ВОСЕМЬЮ//ВОСЬМЬЮ сотрудниками); кроме того, у сложных числительных с сотнями в творительном падеже на конце -СТАМИ («двумястами», «тремястами», «четырьмястами», «шестьюстами» и т.д.); запомнить