около ДВУХСТА дней — неверно; при склонении сложных количественных числительных изменяются обе части (кого? чего? – ДВУХ дней); кроме того, у сложных числительных с сотнями в родительном падеже на конце -СОТ («двухсот», «трёхсот», «четырёхсот» и т.д.), запомнить

много РУМЫН — верно; существительные, обозначающие название национальностей и оканчивающиеся на -н, обычно имеют нулевое окончание

ПОДСТРИЧЬ ногти — верно; глагол используется в значении «подрезать что-то, подравнивая/укорачивая»

поставил НАИВЫСШИЙ балл — верно; перед нами простая превосходная степень от прилагательного «высокий»; образуется так: приставка наи- + «высший» (образовано от слова «высокий» с помощью суффикса -ш); запомнить

около НЕГО — верно; буква «Н» прибавляется к местоимению после предлогов, образованных от наречий и требующих после себя родительного падежа