1) Читатели «Антоновских яблок» ТАК(ЖЕ) (в данном случае ТАК ЖЕ – наречие с частицей, есть «КАК», пишется раздельно) остро, как и автор, чувствуют: жить Россия будет (ПО)НОВОМУ (в данном случае ПО-НОВОМУ – наречие; наречия с приставкой ПО- и суффиксом -ОМУ- пишутся через дефис). 

2) Осень царила в парке, окрашивая в (СВЕТЛО)желтые (СВЕТЛО-ЖЁЛТЫЕ – сложное прилагательное; пишется через дефис, так как обозначает оттенок цвета) тона молодые, всего в (ПОЛ)ВЕКА (ПОЛВЕКА – существительное; пишется слитно, так как слово начинается с согласной («век»)), дубы.

3) Взгляды посетителей выставки притягивал портрет с изображением молодой женщины, сидящей (В)ПОЛОБОРОТА (ВПОЛОБОРОТА – наречие; всегда пишется слитно, запомнить) и смотрящей (В)ДАЛЬ (в данном случае ВДАЛЬ – наречие, пишется слитно, так как нет пояснительных слов; сравните: смотрел в даль (чего?) моря).

4) Мелкий дождь не прекращался (В)ТЕЧЕНИЕ (в данном случае В ТЕЧЕНИЕ – производный предлог, пишется всегда раздельно, имеет значение «во время, в ходе», запомнить) дня, и вода в реке начала (ПО)НЕМНОГУ (ПОНЕМНОГУ – наречие; пишется слитно, так как образовано соединением предлога-приставки ПО и прилагательного «немногий» (не путать с наречием с приставкой ПО- и суффиком -ОМУ-)) прибывать.

5) Поезд отправился со станции (ВО)ВРЕМЯ (ВОВРЕМЯ – наречие с временным значением, заменяется на «своевременно»; пишется слитно), но (ЗА)ТЕМ (в данном случае ЗАТЕМ – наречие, имеет значение «после», пишется слитно) так разогнался, словно захотел побыстрее привезти пассажиров к морю.