Тема 8. Взаимосвязь функции и ее производной
8.06 Производная и возрастание/убывание функции
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела взаимосвязь функции и ее производной
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#20861

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x)  и отмечены восемь точек на оси абсцисс: x1,  x2,  x3,  x4,  x5,  x6,  x7,  x8.  В скольких из этих точек производная функции f(x)  положительна?

PIC

Показать ответ и решение

Производная функции в точке положительна, если функция в этой точке возрастает. Значит,  ′
f(x)> 0  в точках x1,  x2,   x5  и x6.  Этих точек 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#17300

На рисунке изображен график функции y = f(x),  определенной на интервале (−0,5;4,3).  Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

PIC

Показать ответ и решение

Для функции f(x),  у которой производная в точке x0  существует,  ′
f(x0)> 0  равносильно тому, что f(x)  возрастает в x0.

На интервале (− 0,5;4,3)  целыми являются точки 0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек f(x)  возрастает только в точках 1, 2, 4.

Таким образом, производная функции y = f(x)  положительна в трех целых точках.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#17133

На рисунке изображен график y = f′(x)  — производной функции f(x),  определенной на интервале (−1;17).  Найдите промежутки возрастания функции f(x).  В ответе укажите длину наибольшего из них.

xyy1−107=1 f′(x)

Показать ответ и решение

Если производная y = f′(x)  положительна на промежутке (a;b),  то функция y = f(x)  на этом промежутке возрастает. Следовательно, нам необходимо определить по графику те промежутки, которые соответствуют частям графика      ′
y = f(x),  находящимся выше оси Ox.

Это промежутки (0;3),  (6;10)  и (16;17).  Таким образом, функция возрастает на промежутках [0;3],  [6;10]  и [16;17).  Наибольшую длину, равную 4, имеет промежуток [6;10].

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#15802

На рисунке изображён график функции y = f(x)  и на оси абсцисс отмечены восемь точек: x1,  x2,  x3,  x4,  x5,  x6,  x7,  x8.  В скольких из этих точек производная функции y =f (x)  положительна?

PIC

Показать ответ и решение

Производная функции положительна на тех промежутках, где функция возрастает. Тогда в точках x1,x3,x5,x7  производная функции y = f(x)  больше 0. Этих точек 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74194

На рисунке изображён график y = f′(x)  — производной функции f(x),  определённой на интервале (−6;5).  В какой точке отрезка [−1;4]  функция f(x)  принимает наименьшее значение? В ответе укажите абсциссу этой точки.

PIC

Показать ответ и решение

На отрезке [− 1;4]  производная функции отрицательна, т.к. находится ниже оси Ox.  Значит на данном отрезке функция убывает и свое наименьшее значение она принимает на правом конце, то есть в точке с абсциссой 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74193

На рисунке изображён график функции y = f(x).  На оси абсцисс отмечены точки 1,2,3,4.  В какой из этих точек значение производной функции f(x)  наименьшее? В ответе укажите эту точку.

PIC

Показать ответ и решение

Для того чтобы понять, в какой точке производная имеет наименьшее значение, нужно сравнить тангенсы углов наклона касательных к функции в этих точках. На рисунке ниже примерно показаны касательные в точках.

PIC

Наименьший тангенс там, где касательная быстрее убывает. Точки x= 1  и x = 4  не подходят, т.к. там касательная возрастает. Посмотрим на точки x =2  и x = 3:  в точке x= 2  касательная убывает быстрее, а значит там тангенс наименьший.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#74192

На рисунке изображён график функции y = f′(x)  — производной функции f(x).  На оси абсцисс отмечено одиннадцать точек: x1,x2,x3,x4,x5  , x6,x7,x8,x9,x10,x11.  Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x)?

PIC

Показать ответ и решение

Условие:

Производная функции отрицательна там, где функция убывает. Следовательно, функция убыват в точках, которых лежат ниже оси Ox :  x1,x2,x5,x7,x8,x9  — шесть точек.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#74191

На рисунке изображён график функции y = f(x).  На оси абсцисс отмечено девять точек: x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9.  Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции f(x)  положительна.

PIC

Показать ответ и решение

Условие:

Производная функции положительна там, где функция возрастает. Таких точек всего 5: x2,x4,x5,x7,x8.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#69954

На рисунке изображен график функции y = f(x),  определенной на интервале (−9;8),  и отмечено восемь точек. В скольких из отмеченных точек производная положительна?

PIC

Показать ответ и решение

Если значение производной в точке положительно, то функция в этой точке возрастает.

PIC

Тогда производная положительна в точках x2,  x4,  x5,  x7,  x8.  Этих точек 5.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#23587

На рисунке изображен график производной функции y = f(x).  При каком значении x  эта функция принимает свое наибольшее значение на отрезке [−5;−2]?

PIC

Показать ответ и решение

По графику видно, что на отрезке [−5;− 2]  производная функции f(x)  отрицательна, значит, сама функция убывает на этом отрезке. Тогда наибольшее значение она принимает в точке x= −5.

Ответ: -5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1967

На рисунке изображен график y = f′(x)  — производной функции y =f(x),  определенной на интервале (− 2,1;7,5).  В какой точке отрезка [2;6]  функция y = f(x)  принимает наибольшее значение?

PIC

Показать ответ и решение

По рисунку можно определить, что функция y = f′(x)  на отрезке [2;6]  принимает неотрицательные значения, при этом f′(4) =f′(6)= 0.

Так как на полуинтервале [2;4)  производная функции f(x)  положительна, то сама функция f(x)  на [2;4)  возрастает, затем при x= 4  производная обращается в 0, но дальше снова положительна в интервале (4;6).

Тогда функция y =f(x)  возрастает на интервале (2;6)  и принимает наибольшее на отрезке [2;6]  значение при x = 6.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1587

На рисунке изображен график y = f′(x)  — производной функции y =f (x),  определенной на интервале (− 1;8).  В какой точке отрезка [2;5]  функция y = f(x)  принимает наибольшее значение?

PIC

Показать ответ и решение

По рисунку можно определить, что функция y = f′(x)  на отрезке [2;5]  принимает неположительные значения, при этом f′(2) =0.

Так как на полуинтервале (2;5]  производная функции f(x)  отрицательна, то сама функция f(x)  на (2;5]  убывает.

Тогда функция y = f(x)  на отрезке [2;5]  принимает наибольшее значение при x = 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1585

На рисунке изображен график y = f′(x)  — производной функции y = f(x),  определенной на интервале (−1,5;4,5).  Найдите промежутки убывания функции y = f(x).  В ответе укажите количество целых точек, входящих в эти промежутки.

PIC

 

Показать ответ и решение

Для функции f(x),  у которой существует производная в точке x0,  утверждение о том, что f(x)  убывает в точке x0,  равносильно тому, что f′(x0)< 0.

На интервале (−1,5;4,5)  целыми являются точки − 1,  0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек f′(x)  отрицательна только в точках − 1,  0, 1 и 2.

Таким образом, количество целых точек, в которых функция убывает, равно 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1584

На рисунке изображен график функции y = f(x),  определенной на интервале (−0,5;4,3).  Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

PIC

Показать ответ и решение

Для функции f(x),  у которой производная в точке x0  существует, условие f ′(x0)> 0  равносильно тому, что f(x)  возрастает в точке x0.

На интервале (−0,5;4,3)  целыми являются точки 0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек f(x)  возрастает только в точках 1, 2 и 4. Таким образом, производная функции y = f(x)  положительна в 3 целых точках.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#273

На рисунке изображен график  y = f′(x)  — производной функции y = f(x),  определенной на интервале (−2,5;8,4).  В какой точке отрезка [− 1;6]  функция y = f(x)  принимает наибольшее значение?

PIC

Показать ответ и решение

По рисунку можно определить, что производная y = f′(x)  на отрезке [−1;6]  принимает неотрицательные значения. Тогда функция y = f(x)  на отрезке [−1;6]  возрастает и принимает наибольшее значение в точке x= 6.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#269

На рисунке изображен график y = f′(x)  — производной функции y = f(x),  определенной на интервале (−1,5;4,6).  Найдите промежутки возрастания функции y = f(x).  В ответе укажите длину наибольшего из них.

xy110

Показать ответ и решение

Для функции f(x),  у которой производная в точке x0  имеет смысл, утверждение о том, что f(x)  возрастает в x0,  равносильно тому, что f′(x0) >0.

По рисунку видно, что f′(x)  положительна на промежутке − 1< x< 3  и в некоторых точках промежутка 3 < x< 4,6.  Тогда y = f(x)  возрастает на на промежутке − 1 < x< 3  и в некоторых точках промежутка 3 < x< 4,6.

У промежутка − 1 < x< 3  длина больше, чем даже у промежутка 3 <x < 4,6,  тем более она больше, чем длина части промежутка 3< x< 4,6.  Таким образом, длина наибольшего из промежутков возрастания равна 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#267

На рисунке изображен график y = f′(x)  — производной функции y = f(x),  определенной на интервале (−1,5;4,5).  Найдите промежутки возрастания функции y =f(x).  В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

PIC

Показать ответ и решение

Для функции f(x),  у которой производная в точке x0  имеет смысл, утверждение о том, что f(x)  возрастает в точке x0,  равносильно тому, что f′(x0)> 0.

На интервале (−1,5;4,5)  целыми являются точки -1, 0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек f′(x)  положительна только в точках -1, 0 и 1. Таким образом, сумма целых точек, в которых функция возрастает, равна

−1 + 0+ 1= 0
Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#266

На рисунке изображен график y = f′(x)  — производной функции y = f(x),  определенной на интервале (−0,6;4,8).  Найдите промежутки возрастания функции y = f(x).  В ответе укажите произведение целых точек, входящих в эти промежутки.

PIC

Показать ответ и решение

Для функции f(x),  у которой производная в точке x0  имеет смысл, утверждение о том, что f(x)  возрастает в точке x0,  равносильно тому, что f′(x0)> 0.

На интервале (− 0,6;4,8)  целыми являются точки

0, 1, 2, 3, 4

Среди этих точек f′(x)  положительна только в точках 1 и 3.

Таким образом, произведение целых точек, в которых функция возрастает, равно 1⋅3 = 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#264

На рисунке изображен график функции  y = f(x),  определенной на интервале (−0,5;4,3).  Определите количество целых точек (то есть точек с целыми абсциссами), в которых производная функции отрицательна.

PIC

Показать ответ и решение

Для функции f(x),  у которой производная в точке x0  имеет смысл, условие f′(x0)< 0  равносильно тому, что f(x)  убывает в точке x0.

На интервале (−0,5;4,3)  целыми являются точки 0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек f (x)  убывает только в точках 0, 2, 3. Таким образом, производная функции y = f(x)  отрицательна в трех целых точках.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#21445

На рисунке изображен график производной функции y =f (x)  на интервале (−9;5).  Найдите промежутки убывания функции f(x).  В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

PIC

Показать ответ и решение

Функция в точке убывает, если ее производная в этой точке отрицательна. Тогда на графике нужно найти такие целые точки, в которых значение производной меньше 0. Таких точек всего три:

− 6, −5, 4

Тогда их сумма равна

−6 − 5 +4 = −7
Ответ: -7
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!