Тема 8. Взаимосвязь функции и ее производной
8.07 Производная и точки экстремума функции
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела взаимосвязь функции и ее производной
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2394

На рисунке изображен график производной функции f(x),  определенной на отрезке [− 10;37].  Найдите количество точек максимума функции f(x)  на отрезке [0;37].

PIC

Показать ответ и решение

Точка максимума — значение x,  в котором производная меняет свой знак с «+  » на «− » при движении слева направо.

PIC

Следовательно, в этой точке график производной пересекает ось абсцисс «сверху вниз». На отрезке [0;37]  таких точек 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1586

На рисунке изображен график функции y = f(x),  определенной на интервале (−3;9).  Найдите произведение точек экстремума этой функции.

PIC

Показать ответ и решение

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.

По рисунку можно определить, что функция f(x)  достигает локально минимальные значения в точках − 1  и 5, а локально максимальные значения в точках − 2,  4 и 8. Таким образом, произведение точек экстремума этой функции равно

(−1)⋅5⋅(−2)⋅4⋅8 = 320
Ответ: 320

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1007

На рисунке изображен график функции y = f(x),  определенной на интервале (−2,4;8,7).  Найдите сумму точек экстремума этой функции на отрезке [1;6].

PIC

Показать ответ и решение

Так как на рисунке изображен график функции, то точки экстремума — это точки на графике, в которых функция меняется с возрастания на убывание или наоборот. Эти точки: x= −1;  0; 2; 4; 5; 8. Из них на отрезке [1;6]  лежат только точки 2; 4; 5, следовательно, их сумма равна 2+ 4+ 5= 11.

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#272

На рисунке изображен график функции y = f(x)  , определенной на интервале (− 2.8;7.8)  . Найдите произведение точек экстремума этой функции.

 

PIC

Показать ответ и решение

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.

 

По рисунку можно определить, что функция f (x )  достигает локально минимальные значения в точках 1  и 4  , а локально максимальные значения в точках − 2  , 3  и 7  . Таким образом, произведение точек экстремума этой функции равно 1 ⋅ 4 ⋅ (− 2) ⋅ 3 ⋅ 7 = − 168  .

Ответ: -168

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#271

На рисунке изображен график функции y = f(x),  определенной на интервале (−2,4;8,7).  Найдите сумму точек экстремума этой функции.

PIC

Показать ответ и решение

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимального или локально максимального значения.

По рисунку можно определить, что функция f(x)  достигает локально минимального значения в точках -1, 2 и 5, а локально максимального значения в точках 0, 4 и 8. Таким образом, сумма точек экстремума этой функции равна

−1 + 2+ 5+ 0+ 4+ 8= 18
Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74190

На рисунке изображён график y = f′(x)  — производной функции f(x),  определённой на интервале (−19;3).  Найдите количество точек экстремума функции f(x),  принадлежащих отрезку [−16;1].

PIC

Показать ответ и решение

В точках экстремума производная функции равна 0, поэтому на графике нам нужно искать точки, в которых функция персекает ось ОХ. Таких точек всего 5 на нашем промежутке (они отмечены красным на картинке ниже).

PIC

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#41104

На рисунке изображён график y = f′(x)  производной функции f(x),  определённой на интервале (−5;5).  Найдите количество точек максимума функции f(x),  принадлежащих отрезку [−3;4].

xy110−5y5 = f′(x)

Показать ответ и решение

Точки максимума — это точки, в которых функция меняет свой характер монотонности с возрастания на убывание, если смотреть слева направо. Следовательно, в них производная меняет свой знак с плюса на минус.

Значит, на рисунке нужно найти те точки отрезка [− 3;4],  в которых график функции пересекает ось Ox,  причем сверху вниз. Таких точек две.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#37905

На рисунке изображён график функции y = f(x),  определённой на интервале (−5;7).  Найдите наименьшее значение функции f(x)  на отрезке [1;6,5].

PIC

Показать ответ и решение

Наименьшее значение функции достигается при x =4  и равно f(4) =− 4.

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#16748

На рисунке изображен график функции y = f(x),  определенной на интервале (−3;9).  Найдите количество точек, в которых производная функции f(x)  равна 0.

PIC

Показать ответ и решение

Производная равна нулю в точках экстремума функции. Таких точек пять:

− 2, −1, 1, 4, 6
Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#13546

На рисунке изображен график     ′
y = f (x)  — производной функции f(x),  определённой на интервале (−17;2).  Найдите количество точек минимума функции f(x),  принадлежащих отрезку [− 12;1].

PIC

Показать ответ и решение

В точке минимума функции её производная обнуляется и меняет знак с «–» на «+» при движении слева направо, так как до точки минимума функция убывала, а после — начала возрастать.

На отрезке [−12;1]  производная обнуляется два раза — в точках

x1 = −6, x2 = − 1

В точке x1 = −6  производная поменяла знак с «+» на «–».

В точке x2 = −1  производная поменяла знак с «–» на «+».

Значит, x2 = −1  — единственная точка минимума на отрезке [− 12;1].

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2606

На рисунке изображен график функции y = f(x),  определенной на интервале (−3,1;8,15).  Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x)  параллельна прямой y = 12.

PIC

Показать ответ и решение

Если касательная параллельна прямой y = 12,  то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой y = 12,  то есть k = 0  и касательная горизонтальна.

PIC

Так как на рисунке изображен график функции, то нужно найти точки, в которых касательная горизонтальна. Это точки экстремума: их 7 штук.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1588

На рисунке изображен график y = f′(x)  — производной функции y =f(x),  определенной на интервале (− 2,3;8,6).  В какой точке отрезка [1,5;7]  функция y = f(x)  принимает наименьшее значение?

PIC

Показать ответ и решение

По рисунку можно определить, что функция f′(x)  на полуинтервале [1,5;5)  принимает отрицательные значения, f′(5)= 0,  на полуинтервале (5;7]  функция f′(x)  положительна.

Тогда на полуинтервале [1,5;5)  функция f(x)  убывает, в точке x= 5  функция f(x)  достигает локального минимумума, затем на полуинтервале (5;7]  функция f(x)  возрастает.

Таким образом, наименьшее значение функции f(x)  на отрезке [1,5;7]  достигается при x= 5.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#676

На рисунке изображен график y = f′(x)  — производной функции y = f(x),  определенной на интервале (−1,5;8,5).  Найдите количество точек максимума функции y = f(x),  принадлежащих отрезку [− 1;8].

PIC

Показать ответ и решение

По рисунку можно определить, что функция y = f′(x)  на полуинтервале [−1;0)  принимает положительные значения, f′(0)= 0,  на полуинтервале (0;8]  функция f′(x)  отрицательна.

Тогда на полуинтервале [−1;0)  функция f(x)  возрастает, в точке x= 0  достигается локальный максимум f(x),  затем на полуинтервале (0;8]  функция f(x)  убывает.

Таким образом, на отрезке [−1;8]  функция f(x)  имеет 1 точку максимума.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#274

На рисунке изображен график y = f′(x)  — производной функции y =f (x),  определенной на интервале (− 0,5;10,7).  Найдите количество точек минимума функции y = f(x),  принадлежащих полуинтервалу [0;10,7).

PIC

Показать ответ и решение

При переходе слева направо через точку локального минимума функции f(x)  её производная f′(x)  меняет знак с минуса на плюс. По рисунку видно, что f′(x)  меняет знак с минуса на плюс на промежутке [0;10,7)  один раз — при x ≈ 9,5.

Ответ: 1
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!