Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Вывести из неравенства Йенсена, что если - выпукла на , то для любых выполнено
b) Доказать неравенство о средних
для любых ;
c) Доказать, что при
a) Это в точности неравенство Йенсена для частного случая весов
b) Рассмотрим функцию . Поскольку
то функция - выпукла. Следовательно, к ней применимо на любом интервале из луча
неравенство, доказанное в пункте a).
Итак, пусть лежат в некотором интервале . Тогда к этому набору иксов и к
применим неравенство, выведенное из неравенства Йенсена в пункте a):
уберем минусы
Далее, поскольку функция , очевидно, монотонно возрастает, то мы можем применить её к обеим частям неравенства и неравенство сохранится:
И получаем, что
Что и требовалось доказать.
c) Рассмотрим функцию .
Поэтому при , а значит при таких функция будет выпукла и можем
применить к ней неравенство из пункта a) для :
Далее применяем формулу для суммы арифметической прогрессии:
А это, после домножения на есть в точности то, что и нужно было доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!