Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать неравенство Йенсена для выпуклой функции. А именно, пусть функция - выпукла на интервале и пусть числа таковы, что и . Доказать, что тогда для любых выполнено
Будем доказывать индукцией по .
1. База индукции. При у нас единственный вес , и поэтому неравенство обращается в
тривиальное ;
Заметим, что при мы получаем неравенство
в точности являющееся определением выпуклости на интервале .
2. Шаг индукции. Пусть всё верно для . Докажем для .
То есть фактически нам нужно доказать, что
Сделаем такую хитрость. Ясно, что
И тогда, коль скоро по предположению индукции мы верим, что неравенство Йенсена верно для сумм из слагаемых, то мы можем им воспользоваться
(здесь мы считали выражение
за одно единое слагаемое, и поэтому смогли воспользоваться предположением
индукции - и в левой и в правой части у нас по слагаемых)
Однако ж теперь примем во внимание, что раз была выпукла, то
С учетом этого продолжим писать начатую ранее цепочку неравенств:
Но ровно это и требовалось доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!