1) Авгуры в Риме были жрецами-гадателями: они предсказывали будущее по полёту и крику птиц, по тому, как клевали зёрна священные куры. – Если вторая часть бессоюзного сложного предложения раскрывает содержание первой части, то между частями ставится двоеточие. – В предложении несколько грамматических основ: первая: «авгуры были жрецами-гадателями», вторая: «они предсказывали», третья: «куры клевали». Первая и вторая часть не соединены союзом или союзным словом => это бессоюзное предложение. Вторая часть раскрывает содержание первой (авгуры были жрецами-гадателями – что именно они делали? – они предсказывали будущее).

2) Предсказаниям авгуров полагалось верить, но даже в древности многие считали это чистейшим шарлатанством. – Между частями сложносочинённого предложения ставится запятая. – В предложении есть две грамматические основы: «полагалось верить» и «многие считали». Также есть сочинительный союз – «но» => перед нами сложносочиненное предложение (ССП). 

5) Вот почему усмешку, которой обмениваются между собой люди, по договору обманывающие других, называют улыбкой авгуров. – Определение, выраженное причастным оборотом, стоящим после определяемого слова, обособляется. – Причастный оборот «по договору обманывающие других» (отвечает на вопрос какие?) стоит после определяемого слова «люди» и по этой причине обособляется.