Задача №71348: Графики функций — Каталог задач по Высшей математике

Тема . Математический анализ

.03 Графики функций

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71348

Построить график кривой, заданной параметрически:

x(t) = sin(2t), y (t) = sin(4t)

Показать ответ и решение

Видно, что функции $x(t)$ и $y(t)$ периодичны, $x (t)$ имеет период $π$ , а $y(t)$ имеет период $π2$ . Нарисуем графики этих функций:

$PIC$

Также заметим следующее:

$π y (t + 2) = y(t)$ , $π x(t+ 2 ) = − x(t)$
То есть $(x(t+ π2),y(t+ π2)) = (− x(t),y(t))$

Получаем, что чтобы получить график для $t ∈ [π,π] 2$ достаточно отразить график для $t ∈ [0, π2]$ относительно оси $Oy$ .
$y (t + π) = − y(t) 4$ , $x (t + π) = x(π − t) 4 4$
То есть $(x(t+ π4),y(t+ π4)) = (x (π4 − t),− y(t))$

Получаем, что чтобы получить график для $t ∈ [π, π] 4 2$ достаточно отразить график для $π t ∈ [0, 4]$ относительно оси $Ox$ .

Значит, нам достаточно рассмотреть график для $t ∈ [0, π4]$ .

На $[0, π4]$ $x (t)$ монотонно возрастает (от 0 к 1), а $y(t)$ монотонно возрастает на $[0, π8]$ (от 0 к 1) и монотонно убывает на $[π, π ] 8 4$ (от 1 к 0).

Соответственно, получаем:

при росте $t$ от $0$ к $π8$ движение по кривой происходит направо вверх от точки $(0,0)$ к точке $(√1-,1) 2$
при росте $t$ от $π8$ к $π4$ движение по кривой происходит направо вниз от точки $(√1,1) 2$ к точке $(1,0)$

Получили, что точка $(√1-,1) 2$ (соответствует $t = π 8$ ) - локальный максимум. А точки $(0,0)$ и $(1,0)$ - локальные минимумы при $π t ∈ [0,4]$ . И других точек локального экстремума нет (из-за участков монотонности функций $x (t)$ и $y(t)$ ).

Теперь можем нарисовать эскиз кривой для $t ∈ [0, π] 4$ :

$PIC$

Отразим получившийся график относительно оси $Ox$ - получим эскиз кривой для $t ∈ [0, π2]$ . И теперь осталось только отразить все, что есть, относительно оси $Oy$ . И получим итоговый эскиз графика нашей кривой:

$PIC$

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ