Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Функция определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел и из этого множества выполнено равенство и при этом для любого простого числа ( обозначает наибольшее целое число, не превосходящее Найдите количество пар натуральных чисел таких, что и
Источники:
Подсказка 1
Нам надо как-то искать ƒ(x/y). Какие a и b надо подставить, чтобы получить ƒ(x/y) и что-то еще, не очень плохое...
Подсказка 2
Разумно взять b=x/y, где x и y- натуральные числа. Возьмем тогда a=y, чтобы их произведение было натуральным числом. Тогда ƒ(y)+ƒ(x/y)=ƒ(y*x/y)=ƒ(x) ⇒ ƒ(x/y)=ƒ(x)-ƒ(y). Если ƒ(x/y)<0, то что можно сказать про ƒ(y/x)?
Подсказка 3
ƒ(y/x)=ƒ(y)-ƒ(x)=-(ƒ(x)-ƒ(y))=-ƒ(x/y)>0. Это означает, что количество пар (x; y) таких, что ƒ(x/y)<0 равно количеству пар (x; y) таких, что ƒ(x/y)>0. Тогда нам осталось лишь посчитать количество пар, в которых ƒ(x/y)=0. Как это сделать?
Подсказка 4
Мы знаем, что ƒ(x/y)=ƒ(x)-ƒ(y)⇒ нам достаточно посчитать количество пар (x;y) таких, что f(x)=f(y). Т.к. нам известны значения ƒ(x), если x- простое, то мы можем найти все ƒ(x), где x- любое натуральное число от 3 до 27, ведь x раскладывается в произведение простых. Сколько тогда будет пар (x; y) таких, что ƒ(x)=ƒ(y)?
Подсказка 5
Таких пар будет 167. Т.к. всего пар 25²=625, то искомых пар будет (625-167)/2=229.
Подставляя в равенство , получаем
Если же для произвольных натуральных положить , то получаем
Таким образом, чтобы вычислить значение функции в произвольной положительной рациональной точке нам достаточно значения функции для любого натурального числа.
Для простых чисел и единицы значения функции мы уже знаем. Для составных чисел значения функции могут быть найдены, если их разложить на простые множители и воспользоваться равенством , например, Аналогичным образом вычисляем значения функции для и записываем их в таблицу:
Поскольку то из следует, что Таким образом, количество пар натуральных чисел таких, что совпадает с количеством пар, для которых Посчитаем количество пар при которых Ввиду того, что нужно найти количество пар из таблицы выше, для которых Рассмотрим несколько случаев:
В данном случае имеется 25 вариантов.
а В таблице есть 10 аргументов, при которых Выбирая пару таких аргументов, первый можно выбрать 10 способами, а второй – 9 способами. Значит, количество пар такого типа равно
а Аналогично предыдущему пункту получаем пары.
а Здесь пар.
a Здесь пары.
a Здесь также пары.
Итого, есть пар натуральных чисел для которых Всего имеется пар, поэтому тех, при которых ровно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две параллельные касательные к графику функции пересекают оси координат: первая — в точках и , вторая — в точках и . Найти площадь треугольника , если известно, что она в четыре раза меньше площади треүгольника ( — центр координат).
Подсказка 1
Пусть касательные касаются графика в точках х₁ и х₂. В условии сказано, что касательные пересекают оси координат, а решение задачи завязано на площадях полученных треугольников. Было бы здорово получить уравнения для нахождения площади каждой фигуры. Как мы можем это вывести?
Подсказка 2
Конечно, на координатной плоскости легко вычислить площадь треугольника, зная координаты его вершин. Их получим из уравнения касательных. Тогда можно легко найти формулы площадей и записать их отношение!
Подсказка 3
Далее вспомните про условие параллельности касательных. Что это нам даёт?
Подсказка 4
Конечно, коэффициенты при х равны! При этом не забывайте, что прямые разные, то есть х₁ и х₂ (точки касания) не равны.
Пусть — точка касания, тогда
Точки пересечения с осями координат:
Так же и для второй точки касания
Эти касательные параллельны, поэтому коэффициенты при должны быть равны, то есть
Если то точки совпадают, но у нас две разные прямые. Тогда откуда
Тогда
Решая последнее квадратное относительно получаем, что
Тогда