Задача №71269: Уравнения, неравенства и системы на Питергоре — Каталог задач по Олимпиадной математике — Школково

Тема . ПитерГор (Санкт-Петербургская олимпиада)

Уравнения, неравенства и системы на Питергоре

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела питергор (санкт-петербургская олимпиада)

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71269

Числа $x,y,z,t∈ (0,π∕2]$ удовлетворяют условию

2 2 2 2 cos x+ cos y+ cos z+ cos t= 1.

Какое наименьшее значение может принимать величина

ctgx+ ctgy +ctgz+ ctgt?

Источники: СпбОШ - 2017, задача 11.3(см. www.pdmi.ras.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что

cosx 2cos2x 2cos2x 2 ctgx = sinx-=2-sinxcosx = -sin2x-≥ 2cos x.

Следовательно,

( ) ctgx +ctgy+ ctgz+ ctgt≥ 2 cos2x+ cos2y+ cos2z+ cos2t = 2.

Стало быть, интересующая нас сумма всегда не меньше $2.$ С другой стороны, если $π x= y = 4$ и $π z =t= -2,$ то

1 cos2x+ cos2y+ cos2z+ cos2t= 2⋅2 +2⋅0 =1 ctgx+ ctgy+ ctg z+ctgt= 2⋅1+2⋅0 =2.

Ответ:

Наименьшее значение равно $2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse