Тема . САММАТ (Самарская математическая олимпиада)
Тригонометрия на САММАТе
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела саммат (самарская математическая олимпиада)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#77698

Решите уравнение:

          x           x
2⋅cos(2⋅2021 )− 3⋅cos(2021 )+1 =0

Источники: САММАТ - 2021, 11.6 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сделаем замену t = 2021^x. Как можно преобразовать получившееся равенство? Какие известные формулы применить?

Подсказка 2

Формулу понижения степени! Справа ноль, тогда хочется попробовать как-то разложить левую часть на множители...

Подсказка 3

(cos(t) - 1)(4cos(t) + 1) = 0. Разберем случаи! Тогда решать уже будет не так сложно :) Не забываем про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Сделаем замену: t= 2021x,t>0.  Тогда

                         2
2cos(2t)− 3cos(t)+1= 0⇔ 4cos (t)− 3cos(t)− 1 =0,

(cos(t)− 1)(4cos(t)+ 1)= 0.

1) cos(t)= 1⇒ t= 2πn,n∈ℤ,n ≥1,  чтобы t> 0⇒ x =log2021(2πn),n ∈ℕ.

2)              [ t=arccos(−0,25)
cos(t)= −0,25 ⇒   t=± arccos(−0,25)+2πn,n∈ ℤ  n≥ 1, чтобы t>0.

[ x= log   (arccos(− 0.25))
  x= log2021(± arccos(−0.25)+ 2πn),n∈ ℕ.
       2021

Ответ:

log   (arccos(−0.25)),log   (2πn),log   (±arccos(−0.25)+ 2πn),n∈ ℕ
  2021             2021       2021

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!