Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что уравнение
имеет бесконечно много решений в целых числах.
Источники:
Решим сначала уравнение
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Умножим на 4 и прибавим 1 к обеим частям, чтобы выделить полный квадрат справа:
Теперь домножим обе части на 5 и выделим полный квадрат слева:
Сделаем замену . У получившегося уравнения
имеются решения
где — числа Фибоначчи (мы пользуемся нумерацией при всех целых ). На самом деле
равно для всех , что легко проверить по индукции: при это выполняется, а если , то и
(Можно доказать с помощью теории уравнений Пелля, что не имеет других решений.)
Теперь нужно найти бесконечно много и таких, для которых соответствующие и целые. Заметим, что последовательность остатков чисел Фибоначчи по модулю 10 периодична (так как пара ( ) может принимать конечное количество вариантов по модулю 10, а остаток следующего и предыдущего чисел Фибоначчи однозначно определяются по остаткам этой пары). Кроме того, и подходят, они соответствуют тривиальному решению . Значит, уравнение имеет бесконечно много решений.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Осталось понять, что они все не могут обнулять знаменатель. Действительно, если — решение уравнения , при котором , то и . Следовательно, . Так как целое, то обязательно (иначе ), а значит, и . Остальные пары нам подходят.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!