Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Квадрат разрезан на красные и синие прямоугольники. Сумма площадей красных прямоугольников равна сумме площадей синих. Для каждого синего прямоугольника запишем отношение длины его вертикальной стороны к длине горизонтальной, а для каждого красного прямоугольника — отношение длины его горизонтальной стороны к длине вертикальной. Найдите наименьшее возможное значение суммы всех записанных чисел.
Разрежем единичный квадрат на два равных прямоугольников, сделаем один из них синим, а другой красным. Тогда одно отношение равно а другое —
Поскольку в задаче фигурируют только отношения длин сторон, можно считать, что исходный квадрат имел сторону 1. Тогда суммарная площадь прямоугольников каждого цвета равна Занумеруем синие прямоугольники числами от до а красные прямоугольники числами от до Пусть и — соответственно длины вертикальной и горизонтальной сторон го синего прямоугольника, а и — соответственно длины вертикальной и горизонтальной сторон го красного прямоугольника. Тогда
Так как стороны всех прямоугольников не превосходят имеем
Теперь достаточно показать, что хотя бы одна из сумм и не меньше Начнём с того, что справедливо хотя бы одно из двух неравенств
И в самом деле, спроецируем синие прямоугольники на вертикальную сторону квадрата, а красные — на горизонтальную. Если, например, то какой-то промежуток на горизонтальной стороне квадрата не будет покрыт проекциями красных прямоугольников. Тогда полоса над этим промежутком полностью синяя, так как в неё не могут залезать красные прямоугольники. Следовательно, сумма длин вертикальных сторон синих прямоугольников, покрывающих эту полосу, не меньше и, значит,
Пусть для определённости верно первое из неравенств (*). Тогда по неравенству Коши - Буняковского
Следовательно, и
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!