Тема . ПитерГор (Санкт-Петербургская олимпиада)
Алгебраические текстовые задачи на Питергоре
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела питергор (санкт-петербургская олимпиада)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71957

На доске написаны функции

       2  12          (  2)
F (x)= x + x2, G(x)= sin πx    и  H(x)=1.

Если на доске уже написаны функции f(x)  и g(x),  то можно выписать на доску еще и функции

f(x)+ g(x), f(x)− g(x), f(x)g(x), cf(x)

(последнюю - с любым вещественным коэффициентом c  ). Может ли на доске появиться такая функция h(x),  что           1
|h(x)− x|< 3  при всех x∈ [1,10]?

Источники: СпбОШ - 2021, задача 11.4(см. www.pdmi.ras.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что при совершаемых операциях значения в точках 1  и √12  всегда остаются равными, потому что

           √--             √--              √--
F(1)= 13= F( 12),  G(1)= 0= G( 12), H(1)= 1= H( 12)

Теперь предположим, что требуемая функция h(x)  нашлась. Тогда h(1)= h(√12)= a.  По условию должно быть

       1      √--  2
|a− 1|< 3 и |a− 12|<3

Следовательно,

√--     2
 12− 1< 3

Пришли к противоречию.

Ответ: нет

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!