Будем решать обобщенную задачу. Дано натуральное число и два нечетных натуральных числа и Докажите, что существует такое натуральное что хотя бы одно из чисел и делится на

Воспользуемся следующим известным утверждением: пусть число дает остаток при делении на где Тогда дает остаток при делении на

Пусть делится на и не делится на а делится на и не делится на Очевидно, что при этом Тогда дает остаток при делении на а дает остаток при делении на Пусть положим для краткости По лемме число даёт остаток при делении на

Будем решать задачу индукцией по Если то нам подойдет поскольку и дают равные остатки при делении на Сделаем переход от к По индукционному предположению при некотором число делится на Если оно делится и на то переход сделан. Иначе оно дает остаток при делении на Пусть Тогда по лемме дает остаток при делении на Следовательно, дает остаток при делении на Воспользуемся формулой разности степеней:

Первая скобка дает остаток при делении на вторая состоит из нечетных слагаемых и, значит, нечётна. Стало быть, разность дает остаток при делении на Но тогда делится на поскольку выражения в скобках дают одинаковые остатки при делении на