Для начала упростим данную сумму. Каждое слагаемое запишем в виде разности

Тогда вся сумма телескопически сократится до разности крайних слагаемых

Решение 1.

Оценим вычитаемое. Заведем переменные

Мы хотим оценить величину числа

Поскольку при натуральных выполняются неравенства откуда

Подставив в эти неравенства формулы для наших чисел и сократив дроби, получим

Тогда

и значит,

Таким образом, первая цифра после запятой исходного числа равна

Решение 2.

Оценим с двух сторон выражение

Для этого заметим, что

Действительно,

поэтому левое неравенство очевидно. Для проверки правого достаточно установить, что

последнее сразу видно после умножения на и раскрытия скобок.

Неравенства позволяют оценить произведение сверху и снизу. Действительно,

поэтому

Аналогично

Поэтому

Итак, и, значит,