Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В пирамиде все боковые рёбра равны. Точка — середина дуги описанной окружности треугольника точка — середина дуги описанной окружности треугольника и т. д., точка — середина дуги описанной окружности треугольника Докажите, что описанные окружности треугольников пересекаются в одной точке.
Заметим, что точки лежат и на сфере с центром в точке и в одной плоскости. Следовательно, они лежат на окружности являющейся пересечением сферы с плоскостью. Пусть — центр этой окружности. Тогда перпендикулярно плоскости основания и любая точка на прямой равноудалена от всех точек окружности Поэтому на найдётся и такая точка для которой Тогда на сфере с центром в точке и радиусом лежат все вершины пирамиды, а также все окружности
Следовательно, на этой сфере лежат все точки и Пусть — точка на сфере диаметрально противоположная точке Покажем, что описанные окружности треугольников проходят через точку Поскольку точки и лежат на сфере, достаточно проверить, что они лежат на сфере, достаточно в одной плоскости. Эта плоскость перпендикулярна прямой и проходит через точку В самом деле, поскольку они опирается на диаметр сферы и поскольку они опираются на диаметры и описанных окружностей треугольников и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В тетраэдре проведена высота Из точки на прямые и опущены перпендикуляры и Плоскости и пересекаются по прямой Точка — центр окружности, описанной около треугольника Докажите, что прямые и перпендикулярны.
Заметим, что так что точки лежат на одной окружности. Пусть — точка пересечения прямых и Имеем
последнее равенство выполнено в силу того, что прямая — касательная к сфере с диаметром а — секущая.
Таким образом, точка лежит на радикальной оси окружности, описанной около треугольника и точки (это частный случай, когда одна из окружностей точка). На ней же лежат точки Значит, прямая и есть эта радикальная ось. Она перпендикулярна линии центров
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В тетраэдре середины всех ребер лежат на одной сфере. Докажите, что его высоты пересекаются в одной точке.
Пусть дан тетраэдр а — середины ребер и соответственно. Тогда прямые и параллельны как средние линии треугольников и а прямые и параллельны как средние линии треугольников и Отсюда немедленно следует, что — параллелограмм. Но все его вершины лежат на сфере, поэтому он вписанный, т. е. — прямоугольник. В силу параллельности сторонам прямоугольника прямые и перпендикулярны. Аналогично и
Докажем, что перпендикулярность противоположных сторон тетраэдра является достаточным условием того, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Построим плоскость, проходящую через ребро перпендикулярно Высоты тетраэдра, опущенные из точек и лежат в этой плоскости, и значит, пересекаются. Обозначим точку их пересечения через Высоты из вершин и также должны пересекать высоты из вершин и но так как они не лежат в плоскости пересекать их они могут только в точке