Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вписанная окружность треугольника с центром в точке касается сторон соответственно в точках . Точки и симметричны вершине относительно прямых и соответственно. Окружности, построенные на отрезках и как на диаметрах, вторично пересекаются в точке . Докажите, что лежит на прямой .
Источники:
Подсказка 1
Хочется с самого начала понять, что за точка K нам дана. Заметим, что одна сторона у наших треугольников одинаковая на будущее. К тому же из условия вытекает, что какие-то углы прямые. Тогда чем же является точка K на нашей картинке?
Подсказка 2
Верно, точка K лежит на отрезке FE и является серединой, так как FIE равнобедренный. Теперь когда объекты на картинке так или иначе связаны, то можно вернуться к вопросу задачи. Что если посмотреть на четырёхугольник NFME. Чем в нём является K? Если же K будет лежать на NM, то что должно выполняться?
Подсказка 3
Верно, K середина диагонали и, если NFME будет параллелограммом, то K как раз будет лежать на NM. Осталось доказать это. Причём мы знаем, что NF =AF = AE = EM, как отрезки касательных из одной точки и симметрии. Остаётся только ввести стандартно углы треугольника, посчитать немного, и победа!
Проведем . Так как окружности построены на диаметрах,
Следовательно, точка — середина отрезка , так как и — высота равнобедренного треугольника
Проведем и . как отрезки касательных, и в силу симметрии получаем
Обозначим углы
Тогда . И . Следовательно, , и тогда
Аналогичным счетом углов показываем, что и
Следовательно, — параллелограмм. В нем — середина диагонали . Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому — середина
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В неравнобедренном треугольнике точка — середина стороны — точка пересечения медиан, — центр вписанной окружности. Известно, что . Докажите, что .
Источники:
Подсказка 1
Нужно как-то использовать условие про угол, но углы с серединами сторон обычно очень плохо считаются, нужно как-то использовать, что угол именно прямой...
Подсказка 2
Давайте вспомним, что внутренняя и внешняя биссектрисы одного угла перпендикулярны, это наталкивает нас на мысль рассмотреть...
Подсказка 3
Центр I_a вневписанной окружности! Ведь тогда мы получим, что KI параллельно BI_a.
Подсказка 4
Тогда KI - средняя линия, и мы получаем, что AI=II_a. Мы получили какое-то отношение длин на прямой AI_a. Какой ещё есть факт, связанный с отношениями на этой прямой?
Подсказка 5
Лемма о трезубце! Применив её, мы получим, что IW=WI_a, где W - середина дуги BC. Но это значит, что AI/IW=2/1. Это что-то напоминает... Вспомните, что мы ещё не использовали?
Подсказка 6
Мы ещё ничего не говорили, что точку M пересечения медиан, настало время ей воспользоваться, и тем, что медиана делится в отношении 2/1 точкой M, и задача решится!
Давайте поймем, как реализовать странное условие про угол. Вспомним про то, что внутренняя и внешняя биссектрисы одно и того же угла перпендикулярны. Тогда давайте дополнительно отметим центр вневписанной окружности данного треугольника, касающейся стороны Пусть это Значит,
Так как то — средняя линия треугольника По лемме о трезубце — середина следовательно, Тогда
Пусть — середина стороны Тогда по свойству медианы:
Тогда
Так как — середина дуги не содержащей то
А это означает требуемое.