Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Будем называть треугольник вписанным в треугольник , если точки , , находятся на сторонах , , соответственно.
1. Докажите, что если отрезок параллелен отрезку , то описанные окружности треугольников и пересекаются на прямой .
2. Оказалось, что , . Докажите, что точка, симметричная относительно , лежит на пересечении описанных окружностей треугольников и .
3. Пусть . Средняя линия треугольника , параллельная , пересекает и в точках и соответственно. Докажите, что точка , , , лежат на одной окружности.
4. В треугольник вписан треугольник , гомотетичный треугольнику . Докажите, что описанная окружность треугольника касается описанной окружности тогда и только тогда, когда касается описанной окружности .
Источники:
1. Пусть — вторая точка пересечения описанных окружностей и . Поскольку четырехугольник описанный, то . Четырехугольник также описанный, значит .
Поскольку , то .
Получаем, что . Тогда , , лежат на одной прямой.
2. Поскольку треугольники и равнобедренные, то и . Тогда . Также из определения (точка, симметричная относительно ) следует, что . Получается, что лежит на описанной окружности .
Из определения и . Тогда . Получаем, что лежит и на описанной окружности .
3. Обозначим за и середины и соответственно. Т.к. , то и — касательные к окружности, описанной около .
Рассмотрим пару окружностей: описанная окружность треугольника и окружность нулевого радиуса с центром в точке . Рассмотрим степени точек и относительно данных окружностей:
1)
2)
Получаем, что — радикальная ось наших 2 окружностей. Тогда на этой же радикальной оси лежат и . Тогда и — касательная к описанной окружности , и — касательная к описанной окружности . Тогда , — вписанный.
4. Окружность повторно пересекает стороны , , в точках , , соответственно. Окружность повторно пересекает стороны , , в точках , , соответственно.
Окружности и повторно пересекаются в точке . Заметим, что
поэтому лежит на окружности . Также
поэтому лежит на окружности . Аналогично лежит на окружностях , .
Пусть — инверсия с центром в точке и произвольным радиусом. Тогда
Также
Аналогично . Следовательно, треугольники и подобны. Проделывая аналогичные рассуждения для двух других сторон мы получаем
Следовательно, угол между окружностями и равен углу между окружностями и по подобию, с другой стороны, равен углу между окружностями и , поскольку инверсия сохраняет углы.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!