Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Общий сюжет. Дан остроугольный неравнобедренный треугольник . На меньшей дуге его описанной окружности выбирается переменная точка . Точка симметрична точке относительно прямой . Луч пересекает отрезок в точке . Луч пересекает отрезок в точке .
1. Докажите, что окружность , описанная около треугольника , проходит через фиксированную точку.
2. Известно, что в положении центр окружности лежит на отрезке , а в положении — на стороне . Отрезки и пересекаются в точке . Докажите, что прямые и перпендикулярны.
3. Окружность вторично пересекает окружность в точке . Докажите, что прямая проходит через фиксированную точку.
4. Докажите, что если , то расстояние от вершины до точки Торричелли треугольника не превосходит диаметра окружности (при любом положении точки ). Напомним, что точкой Торричелли треугольника называется такая точка , что .
Источники:
Пункт 1, подсказка
Чтобы найти фиксированную четвертую точку на окружности, попробуем посчитать углы, чтобы найти вписанный четырехугольник! Точка D лежит на окружности, ее отражают, поэтому посчитать угол FD’E не составит труда! Какой угол может дополнять его до 180?
Пункт 2, подсказка 1
Если центр окружности лежит на AB или AC, то несложно найти точное расположение центра, т.к. отрезки на указанных прямых являются хордами окружностей. Хочется подробнее рассмотреть D1’ и D2’, а точнее углы, которые на них опираются. Найти их не сложно в силу того, что они лежат на окружности.
Пункт 2, подсказка 2
Углы CD1’A и BD2’A будут прямыми(почему?). Итак, два перпендикуляра к пересекающимся отрезкам пересекаются на рисунке, а нам хочется найти другую перпендикулярность. На какой объект это может намекать?
Пункт 2, подсказка 3
На ортоцентр! Сделаем так, чтобы точка пересечения BD2’ и CD1’ стала ортоцентром нового треугольника! Мы найден прямую, к которой перпендикулярен отрезок, одной из вершин которого является А - теперь мы ближе к тому, что нам нужно доказать! Осталось лишь доказать, что этот отрезок лежит на прямой AX, а третья сторона треугольника, в котором мы нашли ортоцентр, параллельна BC!
Пункт 3, подсказка 1
Тут хочется угадать ту самую фиксированную точку…очень часто на олимпиадах помогает сделать красивые и точные чертежи, чтобы попробовать хотя бы интуитивно узнать точку. Докажем, что все прямые будут проходить через середину BC.
Пункт 3, подсказка 2
Мы понимаем, что через точку М проходит прямая D’G, где G - точка пересечения окружностей. Доказывать вписанность там, где много окружностей и симметрии должно быть проще, чем доказывать, что прямая проходит через середину отрезка. Поэтому попробуем доказать, что точка пересечения MD’ с малой окружностью лежит на окружности ABC. Итак, чем же мы можем пользоваться? Вписанностью D’FAGE, а также тем, что M - середина, т.е. может помочь в симметрии. На правильные действия и на полезный подсчет углов может намекать и то, что точка D лежит на окружность ABC и симметрична D’ относительно BC.
Пункт 4, подсказка 1
Интересно, что благодаря точке Торричелли у нас появляется угол, который с углом A в сумме дает 180. Благодаря пункту 1) задачи мы понимаем, на какой окружности лежит точка Торричелли. Попробуем рассмотреть точку T’, изогонально сопряженную с точкой Торричелли. Что можно о ней сказать?
Пункт 4, подсказка 2
Она тоже лежит на окружности BD’C! Раз уж у нас есть окружностью, отметим ее центр N. Понятно, что он лежит на дуге BC. Не совсем понятно, как работать с самой точкой Торричелли, поэтому попробуем найти другой отрезок, равный AT. В этом нам могут помочь равные треугольники. Какие треугольники очень похожи на равные между собой?
Пункт 4, подсказка 3
Если треугольники ATN и AT’N равны, то AT=AT’. Пока не совсем понятно, что делать дальше, поэтому просто попробуем изобразить то, что узнали в предыдущем пункте задачи: точку M, G, через которую проходят прямые MD’(помним, что D’ лежит на той же окружности, где и T, T’. Отметим точку пересечения AM и окружностей BTC и ABC(K’ и K). Пока что видим только много симметрий, имеет смысл записать степень точки M и цепочку равенств. К какому выводу можно прийти?
Пункт 4, подсказка 4
Понимаем, что AGD’K вписанный. Теперь мы можем сравнивать AT’ и диаметр окружностей AGD’K. Значит, нам нужен диаметр. Точки T, T’, K - все лежат на одной окружности. Быть может, попробовать доказать, что какие-то из них совпадают?
Пункт 4, подсказка 5
Точка T’ на самом деле совпадает с точкой K! Осталось лишь осознать, почему AK не больше диаметра, который нам нужен)
1. Пусть . Тогда . Из симметрии , но тогда , то есть - вписанный, то есть для любого выбора точки окружность проходит через фиксированную точку .
2. Если центр лежит на отрезке , то - диаметр, а - прямой. Тогда углы и - прямые. Рассмотрим точку , симметричную точке относительно . Заметим, что если перпендикулярно , то и будет перпендикулярно . Продлим до пересечения с в точке и до пересечения с в точке . Тогда и - высоты в треугольнике , - его ортоцентр, - третья высота. Докажем, что : Действительно, из вписанности . - вписанный (), откуда перпендикулярно
3. Докажем, что все прямые будут проходить через точку - середину . Будем доказывать с конца - проведём через точки и прямую, и докажем, что она пересекает окружность в нужной нам точке. Пусть это точка . Отразим относительно точки , получим точку . , поэтому попадёт на описанную окружность . Посчитаем углы: так как - параллелограмм, как вписанные, как вертикальные, откуда , то есть - вписанный, что и требовалось доказать.
4. Пусть - точка Торичелли треугольника . Заметим, что она лежит на дуге (так как Рассмотрим точку , изогонально сопряжённую точке . Заметим, что , и , откуда , и точка лежит на дуге . Также заметим, что , откуда , то есть касается в точке . Тогда мы можем определить точку как точку пересечения двух окружностей, которые проходят через и касаются в точках и соответственно.
Пусть - середина малой дуги . Докажем, что - центр окружности . Рассмотрим точку пересечения биссектрис . Тогда , то есть также лежит на дуге , а по лемме о Трезубце мы знаем, что
Заметим, что (по определению изогонального сопряжения) и будут симметричны относительно биссектрисы . Тогда в треугольниках и : - общая, , . Тогда возможны две ситуации:
Треугольникии либо равны, либо сумма двух их углов равна Предположим, что вторая ситуация возможна. Тогда , но , , откуда . Противоречие, следовательно треугольники и равны, и
Пусть - середина . Проведём луч , который пересечёт дугу в некоторой точке и дугу в некоторой точке . Тогда из симметрии . Через точку и произвольную точку на дуге проведем прямую, которая пересечёт окружность в точке . (По доказанному ранее ). Отразим относительно , получим точку Распишем степень точки:
Откуда , то есть любая окружность проходит через точку .
Достроим до параллелограмма. Тогда
Это свойство выполнено и для точки , и для точки . Но такая точка всего одна, следовательно, они совпадают, а хорда окружности всегда меньше или равна диаметру окружности!
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!