Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела бельчонок
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74652

Найдите все натуральные числа a,  для которых число

a+1 +√a5-+2a2+-1
-----a2+-1------

также является натуральным.

Источники: Бельчонок-2022, 11.4 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы хотим сделать так, чтобы числитель делился на знаменатель. Попробуем сделать замену а+1=b, так же заменим и корень. Что получится?

Подсказка 3

Может ли -а-1 быть сравнимо с нулем по модулю a^2+1?

Показать ответ и решение

Обозначим a+ 1= b,√a5-+2a2+-1= c  . В числителе записано

      c2-− b2
c+ b=  c− b

На a2+ 1  должно делиться

c2− b2 = a5+ 2a2+ 1− (a +1)2 = a5+a2− 2a≡a2+1 −a − 1

При a> 1  модуль остатка меньше  2
a +1,  поэтому остаток не может делиться на  2
a + 1  ни при каком a> 1.  Уравнению удовлетворяет единственное значение a= 1.

Ответ: 1

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!