Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Назовём бесконечную числовую последовательность стабилизирующейся, если при некотором для всех выполнено Тогда назовем временем стабилизации, при — стабильным значением.
Пусть — натуральные числа. Дана последовательность в которой и для любого натурального выполнены равенства
здесь — это операция взятия целой части при делении на и
здесь — операция взятия остатка от деления на
Какие из последовательностей стабилизируются, и чему равны их стабильные значения? Чему равно время стабилизации последовательности
Подсказка 1
Давайте посмотрим, что нам известно из условия? Получается, основная последовательность {Xn} разделяется на три подпоследовательности. Причём первые две, похоже, зависят только от тех элементов основной последовательности, что входят в эту подпоследовательность. Может, для начала рассмотрим их повнимательнее?
Подсказка 2
Верно, мы можем выразить элементы этой последовательности через a, b и n. Третья же подпоследовательность зависит от элементов из других подпоследовательностей, так что здесь так просто не получится расписать. Тогда стоит попробовать выразить x{3n+3} с помощью x{3n+1} и x{3n+2}. Например, записать какое-нибудь равенство с этими тремя переменными.
Подсказка 3
Для составления такого уравнения очень полезно начать с расписывания первых элементов и постепенно находить отношения, которые остаются неизменными. А затем доказать их по индукции
Подсказка 4
Остаётся только проанализировать, при каких значениях b каждая из подпоследовательностей стабилизируется и на каком стабильном значении
Сначала рассмотрим последовательность По ее определению имеем для всех целых — значит, при ее стабильное значение равно а при она не стабилизируется.
Теперь рассмотрим По определению, если то для всех целых а если то и, поскольку последовательность — целочисленная, имеем для всех начиная с (целая часть от логарифма, взятая с избытком).
Докажем по индукции, что
для всех целых
База индукции
по определению.
Индукционная гипотеза: пусть для некоторого выполнено
Тогда
Что и требовалось доказать.
Наконец, рассмотрим последовательность . В силу доказанного выше, если , то все члены последовательности равны , а если , то
начиная с следовательно, стабильное значение последовательности равно
Последовательность стабилизируется на при стабилизируется на при и на при стабилизируется на при начиная с и на при начиная с
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!