Площадь многоугольника: различные формулы —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Площадь многоугольника: различные формулы

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.21 Площадь многоугольника: различные формулы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2497

Около окружности, радиус которой равен $3,$ описан многоугольник, периметр которого равен $20.$ Найдите его площадь.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно $S = p⋅r,$ где $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности, то

20 S = 2-⋅3= 30

Ответ: 30

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2478

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $30∘.$ Найдите боковую сторону этого треугольника, если его площадь равна 25.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — боковая сторона треугольника.

Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,

1 2 ⋅a2⋅sin 30∘ = S = 25 ⇒ a2 = 100 ⇒ a =10

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2477

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $30∘.$ Боковая сторона треугольника равна $10.$ Найдите площадь этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,

1 1 1 SABC = 2 ⋅AB ⋅BC ⋅sin∠B = 2 ⋅102⋅2 = 25

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1149

Периметр треугольника равен $12,$ а радиус вписанной окружности равен $1.$ Найдите площадь этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $S△ = p⋅r,$ где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности, то

S△ = 12⋅1= 6 2

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1136

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $150∘.$ Найдите боковую сторону этого треугольника, если его площадь равна $100.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — боковая сторона треугольника.

Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,

1 2 ⋅a2⋅sin30∘ = S = 100 ⇒ a2 = 400 ⇒ a= 20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1135

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь прямоугольника равна $S1 =ab,$ площадь параллелограмма равна $S2 = ab⋅sinα.$ Из условия следует, что $2S2 = S1.$ Следовательно:

1 2ab⋅sin α= ab ⇒ sinα = 2 ⇒ α = 30∘

Ответ: 30

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1134

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $150∘.$ Боковая сторона треугольника равна $20.$ Найдите площадь этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,

1 1 1 SABC = 2 ⋅AB ⋅BC ⋅sin∠B = 2 ⋅202 ⋅2 = 100

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#75875

В треугольнике $NSK$ $AB$ — средняя линия параллельная стороне $NS.$ Найдите площадь трапеции $BM NS,$ если точка $M$ — середина отрезка $AB$ и площадь треугольника $BAK$ равна 28.

Показать ответ и решение

Отметим точку $\text{[math]}$ — середину стороны $NS.$ Так как $AB,$ $AC$ и $BC$ — средние линии треугольника, то $SKAB = SNAC = SACB = SCBS.$ Площадь параллелограмма $N ABC :$

SNABC = 2SKAB = 2⋅28 = 56.

Проведем $M D ∥ BC,$ тогда $NM ∥ DB.$

$PIC$

Найдем площадь

S = 3S = 3⋅56 = 42, NMBC 4 NABC 4

SBMNS = SNMBC +SBCS = 42+ 28 = 70.

Ответ: 70

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#75166

Найдите площадь многоугольника (ёлочки), изображенной на координатной плоскости, если высота одной клетки равна 1.

$PIC$

Показать ответ и решение

Первое решение. Применим известную формулу Пика:

G- V + 2 − 1 = S,

где $V$ — количество точек с целочисленными координатами внутри фигуры на координатной плоскости, а $G$ — количество точек с целочисленными координатами на контуре этой фигуры.

28 17 + 2-− 1 = 30.

Второе решение — разбить «ёлочку» на треугольник, две трапеции и квадрат и найти их площади. Несложные вычисления приводят к ответу: $8 + 8+ 10+ 4 = 30.$

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#44468

Меньшая сторона прямоугольника равна $3√2,$ а угол между диагоналями равен $8- arccos17.$ Найдите площадь прямоугольника.

Показать ответ и решение

Так как диагонали прямоугольника $ABCD$ равны и точкой пересечения делятся пополам, то $AO =BO = x;$ также $√ - AB =3 2,$ $AB < AD.$ Пусть $∠AOB = α.$ Тогда $8 cosα= 17$ (так как угол между диагоналями имеет положительный коссинус, то это острый угол, следовательно, он лежит против меньшей стороны прямоугольника).

$PIC$

По теореме косинусов из $△AOB :$

AB2 =AO2 + BO2 − 2⋅AO ⋅BO ⋅cosα ( ) 18= 2x2(1 − cosα)= 2x2 1− 8- ⇔ x2 = 17 17

Площадь прямоугольника равна

S = AC-⋅BD-⋅sin-α ⇒ S = 2x2sinα 2

Найдем $sinα$ из основного тригонометрического тождества

sin2α + cos2α = 1 ⇒ ∘ ------ -8 15 sinα= 1− 17 = 17

Выбираем $sinα > 0$ , так как синус любого угла от $0∘$ до $180∘$ положительный. Следовательно,

15 S = 2⋅17⋅ 17-= 30

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#44467

Периметр прямоугольника равен $76,$ а площадь $192.$ Найдите большую сторону прямоугольника.

Показать ответ и решение

Пусть в прямоугольнике $ABCD$ стороны $AB = a,$ $AD = b.$ Пусть без ограничения общности $b ≥a.$ Тогда

( ( { PABCD = 2(AB +AD )= 2(a+ b) ⇒ {a+ b= 38 ( SABCD = AB ⋅AD = ab (ab= 192

$PIC$

Числа $a$ и $b$ — корни квадратного уравнения

t2− 38t+192= 0

Его дискриминант равен

2 2 D = 38 − 4⋅192 = 4(19 − 192)= 4⋅169

Следовательно,

38± 26 t= --2--- ( { t= 6 ( t= 32

Следовательно, большая сторона $AD = 32.$

Ответ: 32

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#44466

В ромбе $ABCD,$ площадь которого равна $96,$ тангенс угла $BAC$ равен $0,75.$ Найдите сторону ромба.

Показать ответ и решение

Так как

BO 3 AO-= tg∠BAC = 4,

то можно принять $BO = 3x,$ $AO = 4x.$

$PIC$

Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то $AC = 8x,$ $BD = 6x,$ следовательно, площадь ромба равна

96= S = AC-⋅BD- = 8x⋅6x= 24x2 ⇔ x2 = 4 2 2

По теореме Пифагора из $△ABO :$

2 2 2 2 AB = 9x + 16x = 25x =25 ⋅4 = 100 ⇒ AB = 10

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#44465

Площадь ромба $ABCD$ с углом $60∘$ и площадь равностороннего треугольника $MNK$ равны. Найдите отношение квадрата стороны ромба $ABCD$ к квадрату стороны треугольника $MNK.$

Показать ответ и решение

Пусть сторона ромба $ABCD$ равна $a,$ а сторона треугольника $MNK$ равна $t.$ Тогда

2 ∘ SABCD = a sin60 t2√3 SMNK = -4---

$PIC$ $PIC$

По условию

t2√3-- 2 ∘ 4 = a sin 60 ⇔ √- ⇔ a2 :t2 =---3-∘- ⇔ 4sin60 ⇔ a2 :t2 = 1:2= 0,5

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#44464

Высота $BK$ делит сторону $AD$ ромба $ABCD$ на отрезки $AK = 8$ и $DK = 9.$ Найдите площадь ромба.

Показать ответ и решение

Так как $AK = 8,$ $DK = 9,$ то $AB = AD = 8+ 9= 17.$

$PIC$

Тогда по теореме Пифагора из $△ABK$ находим

---------- ------- BK = ∘ AB2 − AK2 =∘ 172− 82 = 15

Тогда площадь ромба $ABCD$ равна

S = AB ⋅BK = 17⋅15= 255

Ответ: 255

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#44456

Площадь выпуклого четырехугольника $ABCD,$ диагонали которого перпендикулярны, равна $12.$ Периметр четырехугольника, вершины которого — середины сторон четырехугольника $ABCD,$ равен $10.$ Найдите большую диагональ четырехугольника $ABCD.$

Показать ответ и решение

Так как середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма, то $MNKP$ — параллелограмм, причем его стороны равны половинам диагоналей четырехугольника $ABCD$ . Действительно, $MN$ — средняя линия в $△ABC,$ следовательно, $MN = 12AC.$ Доказательство для других сторон аналогично.

$PIC$

Пусть $AC = 2x,$ $BD = 2y,$ $AC > BD.$ Тогда, так как $1 ∘ SABCD = 2AC ⋅BD ⋅sin90 = 2xy = 12,$ $PMNKP = 2MN + 2NK = AC +BD = 2(x +y)= 10,$ получаем систему

( ( {x +y = 5 {x = 3 ( ⇔ ( xy = 6 y = 2

Следовательно, большая диагональ равна $2x = 6.$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#44455

Диагонали параллелограмма равны $6$ и $10,$ а одна из сторон равна $√10.$ Найдите площадь параллелограмма.

Показать ответ и решение

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ такой, что $AB = √10,$ $AC = 10,$ $BD = 6.$ Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам $⇒$ $AO = 5,$ $BO = 3.$

$PIC$

По теореме косинусов в $△ABO :$

AB2 =AO2 + BO2 − 2⋅AO ⋅BO ⋅cosα ⇒ ⇒ 10= 25+ 9− 2⋅5⋅3⋅cosα ⇔ ⇔ cosα = 4 5

По основному тригонометрическому тождеству $2 2 sin α+ cosα = 1$ находим

∘ ------ sinα = 1− 16= 3 25 5

Выбираем $sin α> 0$ , так как синус любого угла от $0∘$ до $180∘$ положительный.

Тогда площадь параллелограмма равна

S = AC-⋅BD-⋅sinα ⇒ 2 3 ⇒ S = 10-⋅6⋅5-= 18 2

Ответ: 18

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#44454

Найдите площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD = 5,$ $BC = 2,$ боковая сторона которой равны $AB = 3,$ а угол $A$ равен $∘ 30.$

Показать ответ и решение

Проведем $CE ∥AB,$ тогда трапеция разобьется на параллелограмм $ABCE$ и треугольник $CED.$ Следовательно, $CE = AB = 3,$ $DE = AD − AE = 5− 2= 3.$ Так как $AB ∥CE$ и $AD$ — секущая, то $∘ ∠CED = ∠BAE = 30$ как соответственные углы.

$PIC$

Тогда площадь трапеции равна сумме площадей параллелограмма и треугольника, следовательно, получаем

∘ CE--⋅DE-⋅sin30∘ SABCD =SABCE + SCED = AB ⋅AE ⋅sin30 + 2 = 1 3 ⋅3⋅ 1 = 3 ⋅2⋅2 +---2-2 =5,25

Ответ: 5,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#44453

Стороны параллелограмма равны $22$ и $44.$ Высота, опущенная на первую из этих сторон, равна $33.$ Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Показать ответ и решение

Пусть $AB = 22,$ $CD = 44,$ $BH = 33$ — высота. Проведем высоту $BK =h$ на сторону $CD.$

$PIC$

Так как площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой эта высота проведена, то

AD ⋅BH = S = CD ⋅BK ⇒ 22⋅33= 44h ⇔ h = 22⋅33= 16,5 44

Ответ: 16,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#44452

Средняя линия равнобедренной трапеции с площадью $24$ равна $6.$ Боковая строна трапеции равна $5.$ Найдите большее основание трапеции.

Показать ответ и решение

Проведем высоты $CE$ и $BF.$ Они разбивают основание $AD$ на отрезки $AF = DE = a$ $(△ABF = △DCE$ как прямоугольные по катету и гипотенузе), $EF =BC = b$ $(FBCE$ — прямоугольник). Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, следовательно, равна $a+ b= 6.$ Площадь трапеции равна

b+(2a+-b)- 24 24= S = 2 ⋅h =(a+ b)h ⇒ h= 6 = 4

$PIC$

По теореме Пифагора из $△DCE$ находим $ED = 3.$ Следовательно, большее основание

AD = (a+ b)+ a = 6+ 3= 9

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#44451

Угол между диагоналями выпуклого четырехугольника был равен $60∘,$ а после поворота одной из диагоналей относительно точки пересечения диагоналей стал равен $∘ 30 .$ Найдите площадь полученного четырехугольника, если площадь исходного четырехугольника была равна $√ - 3.$