Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В таблице часть клеток синие, а остальные красные. Никакие синие клетки не граничат друг с другом по стороне. Множество красных клеток, наоборот, связно по сторонам (от любой красной клетки можно добраться до любой другой красной, переходя из клетки в клетку через общую сторону и не заходя в синие клетки). Докажите, что синих клеток в таблице меньше трети.
Источники:
Подсказка 1
В данной задаче нужно получить какие-то оценки на количество синих клеток. Для этого полезно некоторую величину посчитать двумя способами. Какую здесь удобно взять?
Подсказка 2
Будем считать число M общих сторон красных клеток с синими. Оценить M снизу довольно просто, как это можно сделать?
Подсказка 3
Так как синие клетки не граничат с синими, то каждая сторона синей клетки даёт вклад 1 в M, кроме...
Подсказка 4
Сторон синих клеток, примыкающих к краю таблицы. Но их количество легко оценить, и мы получим оценку снизу на M.
Подсказка 5
Теперь хочется получить оценку сверху. Ясно, что каждая красная клетка даёт вклад в M не больше 4, но эта оценка слишком грубая.
Подсказка 6
Опять же надо учесть, что стороны красных клеток, примыкающие к краю таблицы, не дают вклад в M, а их количество также легко оценить.
Подсказка 7
Мы так и не воспользовались одним из условий задачи (каким?). Оно поможет нам сделать оценку сверху ещё точнее.
Подсказка 8
Теперь записываем, что нижняя оценка на M не больше верхней, и получаем неравенство на количество синих клеток. Из него видим, что их меньше трети.
Положим и пусть и — количества синих и красных клеток. Оценим сверху количество общих сторон красных клеток с синими.
Всего у красных клеток сторон, откуда Вдоль краёв таблицы стоит не меньше сторон красных клеток, поэтому Теперь рассмотрим граф, вершины которого — красные клетки, а рёбра соединяют клетки, имеющие общую сторону. По условию граф связен, поэтому количество его рёбер не меньше Каждому из них отвечает общая сторона двух красных клеток, засчитанная в величине два раза, поэтому из можно вычесть Получаем
(1) |
Оценим теперь снизу. Сложив количества сторон всех синих клеток, получим Ясно, что на одной стороне таблицы не больше сторон синих клеток. Поэтому
(2) |
Из (1) и (2) следует, что
Поскольку получаем отсюда
Поскольку а целое, получаем нужный результат.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!