Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доску записали три рациональных положительных числа. Каждую минуту числа на доске стираются, а вместо них выписываются числа Докажите, что начиная с некоторого момента на доске не будет появляться целых чисел.
Источники:
Заметим сразу, что все числа, появляющиеся на доске, положительны и рациональны. Пусть — числа на доске после минут, а — исходные числа.
Положим Тогда и В частности, и, аналогично,
Положим и пусть — представление этого числа в виде несократимой дроби. Тогда и потому
где последняя дробь также несократима (ибо и взаимно просты). Итак, и В частности, при и потому при Иными словами, последовательность строго возрастает.
Обозначим через произведение всех числителей и знаменателей чисел и Тогда при некотором имеем
Докажем, что с -й минуты все числа на доске нецелые. Действительно, пусть, скажем, — целое при Тогда и потому
Знаменатель этого числа в несократимой записи делит но это невозможно, ибо Противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!