Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из множества 1, 2, …, 10 выбираются равновероятно три числа (возможно одинаковых). Какова вероятность того, что сумма этих чисел равна 10?
Источники:
Подсказка 1
Сначала запишем условие в виде равенства, то есть у нас получится x+y+z=10 для каких-то чисел от 1 до 10. Давайте если не сталкивались с такой идеей, попробуем до неё дойти сами. Представим число 10 так, что как будто у нас есть 10 шаров. Что нам надо будет сделать тогда с ними, чтобы наше равенство было верным?
Подсказка 2
Верно, нужно как-то разделить шары на три кучки — это будет равносильно нашему равенству. Понятно, что в каждой кучке должен быть хотя бы один шар. Допустим, мы выложили шары в ряд и делим на кучки перегородками. Сколько тогда есть в принципе вариантов разбить на кучки?
Подсказка 3
Да, нам нужно из девяти мест, которые есть между шарами, выбрать два. И это будут как раз те варианты, когда наше равенство верно. Теперь осталось только посчитать общее число вариантов и найти вероятность. Победа!
Нужно найти, сколькими способами можно решить уравнение
где
Выпишем в ряд десять единиц и поставим между ними две перегородки (в разные места). Тогда это число единиц до левой перегородки, — между левой и правой, — после правой. Так как единиц всего , то . Заметим, что мест для расположения перегородок всего , а нам нужно выбрать только . Поэтому число решений уравнения равно Всего есть способов выбрать числа из . Значит итоговая вероятность равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны два многочлена
и Найдите значение где — корни многочлена
Заметим, что если вынести в то получим
Следовательно, условие про примет вид:
Но, по условию, корни следовательно,
Осталось применить теорему Виета для чтобы найти
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вписанная окружность треугольника касается сторон и в точках и соответственно, а — центр описанной окружности треугольника Докажите, что
Источники:
Подсказка 1
Давайте подумаем про точку O. Она равноудалена от B, I и C (это ведь центр окружности)...А какая еще точка удовлетворяет этим условиям?)
Подсказка 2
По лемме о трезубце - это середина дуги BC! А т.к. это середина дуги, то углы OAB и OAC равны. Осталось найти еще равенство двух треугольничков, и задача решена)
Рассмотрим точку — середину дуги (дуга не содержит точку ), описанной окружности треугольника . По лемме о трезубце получаем
Следовательно, равноудалена от всех трех вершин треугольника , поэтому
Так как — середина дуги , то . К тому же как касательные, проведенные из одной точки . В итоге получаем, что треугольник равен треугольнику по двум сторонам и углу между ними. Но тогда как внешние углы равных треугольников.