Если провести все большие диагонали правильного шестиугольника, то они пересекутся в одной точке, которая и будет центром описанной около него окружности (свойство правильного шестиугольника). Рассмотрим чертеж:

Так как угол правильного шестиугольника равен а большие диагонали являются биссектрисами углов, то, например, следовательно, треугольник — равносторонний. То есть радиус окружности равен и равен Так как периметр шестиугольника равен то его сторона равна Тогда диаметр описанной окружности равен

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно где — полупериметр, а — радиус вписанной окружности.

Площадь правильного шестиугольника со стороной равна полупериметр равен тогда

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно где — полупериметр, а — радиус вписанной окружности.

Площадь правильного шестиугольника со стороной равна полупериметр равен тогда

По свойству правильного шестиугольника центр описанной окружности лежит на пересечении больших его диагоналей. Следовательно, — радиус описанной окружности. Также по свойству радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника, следовательно,

Т.к. треугольник — правильный, то Треугольник также правильный. Т.к. по условию — медиана в правильном треугольнике то она и биссектриса, то есть

Таким образом, то есть треугольник — прямоугольный.

Следовательно, большая сторона в треугольнике — это гипотенуза По теореме Пифагора из треугольника ( также является в нем высотой):

Таким образом, по теореме Пифагора из треугольника

По свойству правильного шестиугольника центр описанной окружности лежит на пересечении больших его диагоналей. Следовательно, эти диагонали пересекаются в точке Также по свойству радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника, следовательно,

Т.к. треугольник — правильный, то Треугольник также правильный. Т.к. по условию — медиана в правильном треугольнике то она и биссектриса, то есть

Таким образом, то есть треугольник — прямоугольный.

Следовательно,

Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей шести правильных треугольников:

Таким образом,

По свойству правильного шестиугольника большая его диагональ в два раза больше его стороны. Следовательно, если то

Т.к. эти диагонали делят правильный шестиугольник на 6 равносторонних треугольников, причем площадь каждого равна то площадь всего шестиугольника равна

Т.к. центр описанной около правильного шестиугольника окружности есть точка пересечения больших диагоналей, то он лежит на отрезке то есть — диаметр описанной окружности. Т.к. радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то угол между касательной и равен

Рассмотрим правильный шестиугольник и в нем треугольник Параллельными сторонами являются пары и и и

Помним, что угол правильного шестиугольника равен

Треугольник равнобедренный (), следовательно,

Таким образом,

Следовательно, — расстояние между сторонами и (по определению расстояние между двумя параллельными прямыми — отрезок, проведенный из любой точки одной прямой перпендикулярно ко второй прямой).

Найдем по теореме косинусов ():

По свойству правильного шестиугольника радиус вписанной окружности равен перпендикуляру, проведенному из центра правильного шестиугольника (центр вписанной и описанной окружности) к стороне шестиугольника; причем этот перпендикуляр падает в середину стороны.

Также по свойству правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне Тогда из прямоугольного треугольника:

Таким образом, и радиус описанной окружности равен

Пусть — центр описанной около окружности.

Тогда треугольники — равносторонние и все они попарно равны.

В данной задаче

Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен стороне этого шестиугольника.

— высота в треугольнике опущенная из Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту прямую, то

Пусть — радиус описанной окружности, тогда (так как ещё и медиана), таким образом, по теореме Пифагора