Рациональные уравнения —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 6. Решение уравнений

6.03 Рациональные уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#18017

Найдите корень уравнения $--1---= --1--. 5x− 14 4x − 3$

Показать ответ и решение

---1-- --1-- 5x − 14 = 4x− 3 4x− 3= 5x− 14 x= 11

Ответ: 11

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#18016

Найдите корень уравнения $1 1 2x−-3-= 8$ .

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: 5,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1442

Найдите корень уравнения

1 1 33x-−-12-= 17-+-32x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $33x − 12 ⁄= 0$ и $17+ 32x ⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

1⋅(17+ 32x)− 1 ⋅(33x − 12) ---(33x-−-12)(17+-32x)----= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда

1 ⋅(17 +32x) − 1⋅(33x− 12) = 0 ⇔ − x = − 29 ⇔ x = 29

Ответ: 29

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1441

Найдите корень уравнения $--1--- --1--- 5x− 24 = 16 − 3x .$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $5x− 24⁄= 0$ и $16 − 3x ⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

1⋅(1(65−x−3x)24−)( 116⋅(−5x3−x)24)= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда

1⋅(16− 3x) − 1 ⋅(5x− 24)= 0 −8x= −40 x= 5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#46557

Найдите корень уравнения

---1-- = --1-- 5x − 14 4x− 3

Показать ответ и решение

Две дроби с одинаковыми числителями равны, когда их знаменатели ненулевые и также равны:

({ 5x− 14= 4x− 3 ⇔ x =11 ( 4x− 3⁄= 0

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#18005

Решите уравнение $x= 8x+-36. x+ 13$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

{ { [ x(x+ 13)= 8x+ 36 x2+ 5x− 36= 0 x = −9 x +13 ⁄=0 ⇔ x ⁄= −13 ⇔ x = 4

Следовательно, наименьший корень уравнения равен $x= −9.$

Ответ: -9

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#13540

Решите уравнение $x-+8- x+-8- 6x+ 5 = 5x + 2.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Показать ответ и решение

$pict$

Тогда в ответ пойдет корень $x =− 3.$

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2684

Найдите корень уравнения $2x+-73 2x-+-73- 3x− 18 = 18x − 3 .$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $3x− 18⁄= 0$ и $18x − 3 ⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

(2x-+-73)(1(8x3x−−-3)18−)( (128xx+−-733))(3x−-18)= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $(2x+ 73)(18x− 3)− (2x +73)(3x − 18) =0,$ что равносильно $(2x+ 73)(18x − 3 − 3x +18)= 0.$

Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл, тогда $x1 =− 36,5$ и $x2 = −1$ – подходят по ОДЗ. Итого: меньший из корней $x = −36,5.$

Ответ: -36,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2683

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите модуль их разности.

7,5 − x -x−-13-= − 0,25x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= 13.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

7,5− x + 0,25x2 − 3,25x --------x-−-13--------= 0.

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $7,5− x + 0,25x2 − 3,25x = 0,$ что равносильно $x2 − 17x+ 30 = 0.$

Дискриминант данного уравнения

D = 289− 120 = 169 = 132

Корни квадратного уравнения $x1 = 15$ и $x2 = 2$ – подходят по ОДЗ.

Ответ: $|15− 2| = 13.$

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1440

Решите уравнение $x-− 3 x−-3- 2x+ 5 = 5x + 2.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2x + 5 ⁄= 0$ и $5x+ 2 ⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

(x − 3)(5x+ 2)− (x − 3)(2x+ 5) -------(2x-+5)(5x+-2)------- = 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда

(x− 3)(5x+ 2)− (x− 3)(2x+ 5) = 0 ⇔ (x− 3)(5x+ 2− 2x − 5) = 0

Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл, тогда $x1 = 3,$ $x2 = 1$ – подходят по ОДЗ. Итого: больший из корней $x = 3.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1439

Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

17x 4x2 +-4-= 1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2 4x + 4 ⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

17x − 1⋅(4x2 + 4) ----4x2 +-4-----= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда

17x− 1⋅(4x2 + 4) = 0 ⇔ 4x2 − 17x + 4 = 0

Дискриминант

D = 289− 64 = 225 = 152

Тогда корни

17 + 15 17− 15 x1 =---8---= 4, x2 = --8----= 0,25

– подходят по ОДЗ. Больший из корней равен 4.

Ответ: 4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1438

Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

1 x2-−-65 = − 1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $√-- x ⁄= ± 65.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

1+ 1⋅(x2 − 65) ---x2 −-65----= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $1 + 1⋅(x2 − 65) = 0,$ что равносильно $x2 = 64,$ откуда $x = ±8$ – подходят по ОДЗ.

Ответ: $x = − 8$ – меньший корень.

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1437

Найдите корень уравнения

12+ 0,3x -1+-0,1x-= 7

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= − 10.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

12+ 0,3x− 7 − 0,7x − 0,4x + 5 -----1+-0,1x------= 0 ⇔ -1+-0,1x-= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $x = 12,5$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 12,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1436

Найдите корень уравнения $−x-− 8 x− 8 = 9.$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x⁄= 8.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

−x−-8−x-9− 8⋅(x−-8)-=0 ⇔ −10xx−+864-=0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $x = 6,4$ — подходит по ОДЗ.

Ответ: 6,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1435

Найдите корень уравнения $3x−-4 x+ 43 =− 2.$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x⁄= − 43.$ Решим задачу на ОДЗ.

Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём их к общему знаменателю:

3x−-4+x+2⋅4(3x+-43)-= 0 ⇔ 5xx++-8423 =0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Тогда $x= −16,4$ — подходит по ОДЗ.

Ответ: -16,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#638

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

1 x2-−-2x+-2 = 1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2 x − 2x+ 2 ⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

1− 1⋅(x2 − 2x + 2) ---x2-−-2x+-2----= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда

1− 1⋅(x2 − 2x + 2) = 0 ⇔ x2 − 2x+ 1 = 0 ⇔ (x − 1)2 = 0 ⇔ x = 1

Ответ: $x = 1.$

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#101

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

20x 3x2 −-7-= 1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2 3x − 7 ⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

20x − 3x2 + 7 ---3x2 −-7-- = 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $20x − 3x2 + 7 = 0,$ что равносильно $3x2 − 20x− 7 = 0.$

Дискриминант

D = 400+ 84 = 484 = 222

Тогда корни

20+ 22 20− 22 1 x1 = -------= 7, x2 = -------= − - 6 6 3

– подходят по ОДЗ. Больший из корней равен 7.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#100

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

− 1 1 x2-−-12x−-25 = −3

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2 x − 12x− 25 ⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Умножим уравнение на $− 3,$ затем перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

3− (x2 − 12x − 25) --x2-−-12x−-25---= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $3 − (x2 − 12x − 25) = 0,$ что равносильно $x2 − 12x− 28 = 0,$ откуда $x1 = 14,$ $x2 = − 2$ – подходят по ОДЗ.

Ответ: меньший корень $x = − 2.$

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#99

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

1 x2 −-5x+-3-= − 1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2 x − 5x+ 3 ⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

1+ 1⋅(x2 − 5x + 3) ---x2-−-5x+-3----= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $1+ 1⋅(x2 − 5x + 3) = 0,$ что равносильно $x2 − 5x+ 4 = 0,$ откуда $x1 = 1,$ $x2 = 4$ – подходят по ОДЗ.

Ответ: больший корень $x = 4.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#98

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

x+ 2 7−-x-= 0,5x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= 7.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

x + 2− 3,5x+ 0,5x2 -------7−-x------- = 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда $x + 2− 3,5x+ 0,5x2 = 0,$ что равносильно $x2 − 5x + 4 = 0.$

Дискриминант данного уравнения

D = 25− 16 = 9 = 32

Корни квадратного уравнения $x1 = 4,$ $x2 = 1$ – подходят по ОДЗ.

Ответ: $x = 4$ – наибольший корень.

Ответ: 4

Предыдущий раздел

Следующий раздел