Иррациональные уравнения (со знаком корня) —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Иррациональные уравнения (со знаком корня)

Тема 6. Решение уравнений

6.04 Иррациональные уравнения (со знаком корня)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#15797

Решите уравнение $√------ 2x+ 37= 7.$

Показать ответ и решение

Возведем обе части в квадрат:

√ ------ ( 2x+ 37= 7 {2x +37 =49 ( 7 ≥ 0 2x = 12 x = 6

Ответ: 6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2685

Найдите корень уравнения

√ ------- 2 − x + 22 = (− 2)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $− x+ 22 ≥ 0,$ что равносильно $x ≤ 22.$ Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение можно переписать в виде

√ ------- − x +22 = 4

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: $− x+ 22 = 16,$ что равносильно $x = 6.$

Подставим в исходное уравнение: $√ − 6-+-22 = (− 2)2$ – верное равенство, таким образом, ответ $x = 6.$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2548

Найдите корень уравнения $√2x+-31= 9.$

Показать ответ и решение

ОДЗ уравнения: $2x+ 31≥ 0.$ Так как правая часть уравнения неотрицательна, то данное уравнение имеет решения и преобразуется в:

2x +31 =81 ⇒ x = 25

Данный корень подходит под ОДЗ.

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1444

Найдите корень уравнения $√4x+-5 =6.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $4x+ 5 ≥0,$ что равносильно $x≥ −1,25.$ Решим на ОДЗ:

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: $4x+ 5 =36,$ что равносильно $x = 7,75.$

Подставим в исходное уравнение: $√--------- 4 ⋅7,75+ 5= 6$ – верное равенство, таким образом, ответ $x =7,75.$

Ответ: 7,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1443

Найдите корень уравнения

√------ x + 12 = 6

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ≥ − 12.$ Решим на ОДЗ:

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: $x+ 12 = 36,$ что равносильно $x = 24.$

Подставим в исходное уравнение: $√ ------- 24+ 12 = 6$ – верное равенство, таким образом, ответ $x = 24.$

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#102

Найдите корень уравнения $√6−-x-= 3.$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $6− x≥ 0,$ что равносильно $x ≤ 6.$

При возведении в квадрат левой и правой частей уравнения в общем случае могут возникать лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую части, найдём корни получившегося уравнения:

6 − x = 9 ⇔ x= − 3

Проверим подстановкой, являются ли найденные корни корнями корнями исходного уравнения:

∘ ------- 6− (−3)= 3

Получили верное равенство, таким образом, $x = −3.$

Ответ: -3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#80082

Решите уравнение $√x-−-2 = 4 − x.$ В ответ запишите сумму всех корней уравнения.

Показать ответ и решение

Запишем ограничения, опрделяющие ОДЗ уравнения:

x − 2 ≥ 0,

x ≥ 2.

В левой части записан радикал, от него следует избавиться, возведя обе части уравнения в квадрат. В квадрат части уравнения имеем право возводить только тогда, когда обе части уравнения имеют один знак. Левая часть на ОДЗ всегда неотрицательна, такой же должна быть и правая часть, то есть в квадрат можно возводить только при условии $4 − x ≥ 0 :$

√ -----2 2 ( x− 2) = (4 − x ),

2 x− 2 = 16− 8x+ x ,

2 x − 9x+ 18 = 0.

По теореме Виета определяем корни уравнения:

{ x1 +x2 = 9, x ⋅x = 18. 1 2

{ x1 = 3, x2 = 6.

$x2$ не является корнем уравнения, так как $4 − 6 < 0.$

Таким образом, у уравнения ровно один корень и сумма всех его корней равна единственному корню.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#41102

Найдите корень уравнения $∘------ 2x+-5= 5. 3$

Показать ответ и решение

Уравнение в общем виде выглядит как $√A-= B$ и оно равносильно

( { A = B2 ( B ≥ 0

Так как правая часть исходного уравнения положительна, то оно равносильно

2x+-5 =25 ⇔ x = 35 3

Ответ: 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#37784

Решите уравнение $3√x3−-2 =x − 2.$

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

x3− 2= (x− 2)3 x3− 2= x3− 6x2+ 12x− 8 2 x − 2x+ 1= 0 ⇔ x = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#37783

Решите уравнение $3√x-− 2-= 2.$

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

x − 2= 23 ⇔ x= 10

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#23573

Решите уравнение $√--2------- 2x + 4x− 5= x.$

Если оно имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Показать ответ и решение

({ 2 2 ∘2x2-+-4x−-5= x ⇔ 2x + 4x− 5= x ( x≥ 0 ( ⌊ ({ |||{ ⌈x= 1 (x − 1)(x+ 5)= 0 ⇔ x= −5 ⇔ x= 1 ( x≥ 0 |||( x≥ 0

Ответ: 1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#21204

Решите уравнение

---------- ∘ 6 − 4x− x2 = x + 4

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#21203

Решите уравнение

√7-+-3x = 4 − x

В ответ запишите сумму корней, округленную до целых в большую сторону.

Показать ответ и решение

( √ -- √------ {7 + 3x = (4− x)2 {x2 − 11x+ 9 = 0 { 11±---85 7 + 3x = 4− x ⇔ ⇔ ⇔ x = 2 4 − x ≥ 0 x ≤ 4 (x ≤ 4.

Оценим полученные корни:

√ -- √-- 11− 85 11 − 81 11− 9 ---2----< ----2--- = --2---= 1 ≤ 4.

√-- √ -- 11-+--85 > 11+---81= 11-+-9= 10 > 4. 2 2 2

Получим, что первый корень подходит, а второй — нет. При этом первый корень располагается между числами $0$ и $1$ и после округления в большую сторону дает $1$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#21190

Решите уравнение

√5-+-2x = 5 − x

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#18015

Решите уравнение $√------ 15− 2x= x.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите наименьший из корней.

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#18014

Решите уравнение $√2x-−-3 = x − 3$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите наименьший из корней.

Показать ответ и решение

${ { (| [x = 2 √------ 2x − 3 = (x− 3)2 x2 − 8x+ 12 = 0 { 2x − 3 = x− 3 ⇔ x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 ⇔ |( x = 6 ⇔ x = 6. x ≥ 3$

Ответ: 6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#18011

Решите уравнение $√5x= 21 x. 2$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Показать ответ и решение

√ -- { 2 [ 5x= 21x ⇔ 5x= 6,25x ⇔ x= 0 2 x≥ 0 x= 0,8

Больший корень это $x =0,8.$

Ответ: 0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#18007

Решите уравнение $√9-−-8x = − x$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Показать ответ и решение

${ { (|[x = − 9 √------ 9 − 8x = (− x)2 x2 + 8x− 9 = 0 { 9 − 8x = − x ⇔ − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 ⇔ |( x = 1 ⇔ x = − 9. x ≤ 0$

Ответ: -9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#17128

Решите уравнение $√----- 72+ x =− x.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1455

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

√------ √ - 2x + 6 = 2 2x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2x + 6 ≥ 0,$ что равносильно $x ≥ − 3.$ Решим на ОДЗ:

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения:

2 2 2x + 6 = 8x ⇔ 8x − 2x− 6 = 0

Дискриминант

D = 4+ 192 = 196 = 142

Корни

2 +14 2 − 14 x1 = ------= 1, x2 =------= − 0,75 16 16

Подставим в исходное уравнение $x1 = 1 :$

------- √ - √2 ⋅1+ 6 = 2 2⋅1

– верное равенство. Подставим в исходное уравнение $x2 = − 0,75 :$

∘ ------------- √ - 2⋅(− 0,75)+ 6 = 2 2⋅(− 0,75)

Левая часть данного равенства не может быть отрицательным числом, а справа отрицательное число, значит $x2 = − 0,75$ – не корень исходного уравнения. Ответ: $x = 1.$

Ответ: 1

Предыдущий раздел

Следующий раздел