Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, вычислить поверхностный интеграл II рода
где - поверхность, задаваемая уравнением , ориентированная так, чтобы нормали смотрели вне неё.
Пусть - область, ограниченная поверхностью , то есть
Далее, Тогда по формуле Остроградского-Гаусса:
И
осталось лишь вычислить этот последний поверхностный интеграл. .
Сделаем замену переменных для более удобного применения теоремы Фубини:
. Тогда Якобиан такой замены:
считать не очень-то удобно, поскольку у нас не выражены через , а наоборот, выражены
новые координаты через старые.
Тогда посчитаем Якобиан обратной замены
Следовательно, якобиан нашей замены равен . Таким образом, исходный интеграл преобразуется как
Где
. В силу симметричности области, достаточно проинтегрировать лишь
по тому куску области , который лежит в первом октанте, то есть где , то есть по
множеству , а затем умножить полученный интеграл на 8, поскольку
по остальным октантам интеграл будет такой же (это следует из того, что все переменные в уравнении
области стоят под модулем).
Таким образом
Дальше работает теорема Фубини:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!