Задача №64230: Поверхностные интегралы 1 и 2 рода — Каталог задач по Высшей математике

Тема . Математический анализ

.13 Поверхностные интегралы 1 и 2 рода

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#64230

Вычислить поверхностный интеграл II рода

∫ ∫ xdydz + ydzdx + zdxdy Σ

Где $Σ$ - поверхность тетраэдра, ограниченного плоскостями $x = 0,y = 0,z = 0,x + 2y + 3z = 1$ , ориентированная так, чтобы нормали в каждой точке смотрели $”$ внутрь $”$ тетраэдра.

Показать ответ и решение

$PIC$

Давайте разобьём наш поверхностный интеграл на сумму четырёх:

∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ xdydz + ydzdx + zdxdy = ...+ ...+ ...+ ... Σ Σ1 Σ2 Σ3 Σ4

Где $Σ1$ - плоскость $Oxy$ , $Σ2$ - плоскость $Oxz$ , $Σ3$ - плоскость $Oyz$ , $Σ4$ - плоскость $x + 2y + 3z = 1$ .

1.

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ xdydz + ydzdx + zdxdy = zdxdy = 0 = 0 Σ1 Σ1 Σ1 ◟---◝◜---◞ ◟---◝◜--◞ т.к. на Σ1 dz=0 т.к. на Σ1 z=0

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ xdydz + ydzdx + zdxdy = ydzdx = 0 = 0 Σ Σ Σ 2 ◟-2-◝◜---◞ ◟-2-◝◜--◞ т.к. на Σ2 dy=0 т.к. на Σ2 y=0

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ xdydz + ydzdx + zdxdy = xdydz = 0 = 0 Σ3 Σ3 Σ3 ◟---◝◜---◞ ◟---◝◜--◞ т.к. на Σ3 dx=0 т.к. на Σ3 x=0

4. Вычислим

∫ ∫ xdydz + ydzdx + zdxdy Σ4

Для этого давайте разобьём этот последний интеграл на 3:

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy = xdydz+ ydzdx + zdxdy Σ4 Σ◟4-◝◜---◞ ◟Σ4-◝◜---◞ Σ◟4--◝◜--◞ I1 I2 I3

Для вычисления $I1$ мы представим нашу плоскость $Σ4$ как график явной функции $x = x(y,z)$ ( $x = 1 − 2y − 3z$ ), для вычисления $I2$ мы представим нашу плоскость $Σ4$ как график явной функции $y = y(z,x)$ , ( $y = 1−-x2−3z$ ), для вычисления $I3$ мы представим нашу плоскость $Σ4$ как график явной функции $z = z(x,y)$ ( $1−x−2y z = 3$ ).

При этом заметим, что всякий раз нормали к $Σ4$ у нас смотрят так, что эти нормали вместе с другими двумя базисными векторами образуют левую тройку. То есть в формуле сведения поверхностного интеграла II рода к двойному мы будем брать каждый двойной интеграл со знаком минус.

$∫ ∫ 1 1 − 2y I1 = − (1− 2y − 3z)dydz, где D1 = {0 ≤ y ≤ 2,0 ≤ z ≤ --3---} D1$

Далее применяем теорему Фубини:

$∫∫ I1 = − (1 − 2y − 3z)dydz = D1 ∫ 12 ∫ 1−32y ∫ 12 1− 2y 1− 2y 3 1− 2y 1 = − dy (1 − 2y − 3z)dz = − (------− 2y ------− -(------)2)dy = − --- 0 0 0 3 3 2 3 36$

Теперь

$∫∫ I2 = − 1-−-x−-3z-dxdz, где D2 = {0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1−-x-} D2 2 3$

Далее применяем теорему Фубини:

$∫ ∫ 1−-x-−-3z- I2 = − D 2 dxdz = ∫ 1 ∫ 1−x 2∫ 1 = − dx 3 1−-x-−-3zdz = − (1-−-x − 1-−-xx − 3(1-−-x)2)dx = − 1-- 0 0 2 0 6 6 4 3 36$

Теперь

$∫∫ 1 − x− 2y 1− x I3 = − ----3-----dxdy, где D3 = {0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ -2---} D3$

Далее применяем теорему Фубини:

$∫ ∫ 1− x − 2y I3 = − ---------dxdy = D3 3 ∫ 1 ∫ 1−2x 1− x − 2y ∫ 1 1 − x 1 − x 1 1 − x 2 1 = − dx ----3----dy = − (--6-- − --6--x − 3(--2--) )dx = − 36- 0 0 0$

Следовательно,

∫∫ -1- xdydz + ydzdx + zdxdy = I1 + I2 + I3 = −12 Σ4

Ответ: $− 1- 12$ .

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ