Решение пункта (а)

Пусть Из условия следует, что — биссектриса угла , то есть

Поэтому . По лемме о трезубце

Пусть — проекция точки на . Из прямоугольного треугольника находим, что

Итого

Решение пункта (б)

Переписав формулу в виде , докажем, что обе ее части равны произведению , где — точка пересечения биссектрисы угла с описанной окружностью.

Пусть — точки пересечения прямой, содержащей и окружности, описанной около треугольника

По свойству пересекающихся хорд

И по доказанному ранее в пункте (а) , поэтому

Первый вариант решения пункта (в)

По формуле Эйлера

Так как правая часть неотрицательна, то и левая часть неотрицательна, то есть

Получаем, что , то есть радиус описанной окружности всегда не меньше диаметра вписанной окружности.

Равенство достигается тогда и только тогда, когда

То есть центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности. Это означает, что биссектрисы являются серединными перпендикулярами. Так как это выполняется для любой вершины треугольника, то каждая пара сторон треугольника является парой равных сторон. То есть треугольник является равносторонним.

Второй вариант решения пункта (в)

Пусть и — вписанная и описанная окружности треугольника . Через каждую вершину этого треугольника проведём прямые, параллельные противолежащим сторонам. Получим треугольник , подобный данному с коэффициентом . Пусть — радиус вписанной окружности треугольника .

Опишем около окружности треугольник , стороны которого соответственно параллельны сторонам треугольника так, что прямая и точка расположены по разные стороны от прямой , прямая и точка — по разные стороны от прямой , прямая и точка — по разные стороны от прямой

Треугольник подобен треугольнику и, следовательно, треугольнику . Стороны треугольника не меньше соответствующих сторон треугольника (второй из этих треугольников целиком заключён внутри первого). Поэтому

Равенство достигается только в случае, когда все стороны треугольника касаются окружности . Тогда

Следовательно, То же верно для остальных углов. Треугольник является правильным.

Третий вариант решения пункта (в)

Пусть и — стороны треугольника, — полупериметр, — площадь. Тогда

Положим

Имеем

Где последнее — в силу неравенства о средних для трёх чисел.

Следовательно, . Равенство достигается, когда , то есть в случае равностороннего треугольника.