Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две стороны выпуклого четырёхугольника имеют длину 6, ещё одна — длину 1, а его площадь — наибольшая возможная при таких условиях. Какова длина четвёртой стороны четырёхугольника?
Источники:
Подсказка 1
Пусть наши известные стороны это b, b и c, но мы не знаем, в каком порядке они расположены в четырехугольнике: как b, b, c или b, c, b? А вдруг это не важно?)
Подсказка 2
Пусть наш четырехугольник это ABCD, где AB = CD = b, BC = c. Тогда на самом деле площадь четырехугольника AB'CD, где AB' = c, B'C = CD = b будет такой же, потому что треугольник ACD не изменился, а ABC = AB'C, то есть площадь осталась такой же) Давайте теперь мыслить про первый вариант.
Подсказка 3
Можно ли отдельно максимизировать площадь, учитывая наши условия? Например, разбить четырехугольник на какие-то части, и меняя что либо, менять площадь?
Подсказка 4
Давайте отдельно максимизируем площадь ABC и ACD) Начнем с ABC. Мы знаем, что A находится на расстоянии b от точки B. Так давайте будет двигать A по окружности с центром в точке B и радиусом b! Сторона BC как раз не меняется в таком случае. В какой момент площадь ABC будет максимальна?
Подсказка 5
Тогда, когда AB станет перпендикулярна BC! Потому что площадь ABC = 1/2 ⋅ (высота к BC) ⋅ BC, и высота максимальна будет как раз в этом случае. Попробуйте сделать тоже самое с ACD) Какой четырехугольник в таком случае у нас выйдет?
Подсказка 6
Т.к. углы ABC и ADC станут по 90°, то ABCD - вписанный, да и еще у него AB = CD, то есть ABCD - равнобокая трапеция! Осталось посчитать сторону AD, зная все это)
Подсказка 7
Для удобства подсчета, стоит опустить высоты из B и C на AD и воспользоваться формулой высоты в прямоугольном треугольнике)
Пусть известные длины сторон четырехугольника равны 
и 
В условии не указан порядок расположения этих сторон: 
или
Но вместо четырехугольника 
в котором, скажем 
рассмотрим четырехугольник 
в
котором, 
В нем тот же набор известных длин сторон (но в другом порядке), а площади этих четырехугольников
равны, так как это суммы 
и 
причем 
Поэтому можно считать, что 
Заметим, что двигая точку 
по дуге окружности радиуса 
с центром в точке 
мы будем получать четырехугольник с тем же
набором известных длин сторон, с той же частью 
а площадь части 
будет наибольшей тогда, когда 
(иначе при том
же основании 
высота из точки 
будет короче, чем 
Двигая аналогично точку 
вокруг точки 
получим, что из свойства
максимальной площади четырехугольника 
вытекает 
Итак, имеются два прямоугольных треугольника 
и 
с общей гипотенузой 
и равными катетами 
и 
Значит,
треугольники равны, как и их высоты на гипотенузу, т.е. 
— равнобедренная трапеция с тупыми углами 
и 
Пусть 
где 
и 
— проекции точек 
и 
на 
Тогда из свойства высоты прямоугольного треугольника
получаем
Отсюда, с учётом того, что 
получаем
Подставляем 
и получаем
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
