Задача №82690: Билинейные формы. Симметричные билинейные формы. Квадратичные формы, нормальный вид, положительная определенность. — Каталог задач по Высшей математике — Школково

Тема . Линал и алгебра.

.03 Билинейные формы. Симметричные билинейные формы. Квадратичные формы, нормальный вид, положительная определенность.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82690

Привести квадратичную форму

Q (x1,x2,x3 ) = x21 + x22 + 3x23 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3

к нормальному виду.

Показать ответ и решение

Будем действовать прямо так, как в доказательстве теоремы Лагранжа.

2 2 2 2 2 2 2 x1 + x2 + 3x3 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 = (x1 + 2x2 + x3) − (2x2 + x3) + x2 + 3x3 + 2x2x3

Делаем замену

u1 = x1 + 2x2 + x3,u2 = x2,u3 = x3

Тогда в новых координатах наша форма будет иметь вид

u2− 4u2 − 4u u − u2+ u2 + 3u2 + 2u u = u2− 3u2 + 2u2 − 2u u = 1 2 2 3 3 2 3 2 3 1 2 3 2 3

2 1- 2 1- 2 2 2 1- 2 7- 2 = u1 − 3(u2 + 3u3) + 3 u3 + 2u 3 = u1 − 3(u2 + 3u3) + 3 u3

Делаем замену

1 v1 = u1,v2 = u2 +-u3,v3 = u3 3

Тогда в новых координатах наша форма будет иметь вид

2 2 7- 2 v1 − 3v2 + 3 v3

Тогда, делая замены

1 √3-- y1 = v1,v2 = √--y2,v3 = √--y3 3 7

получим нормальный вид нашей квадратичной формы

Q (y1,y2,y3) = y21 − y22 + y23

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse