Тема . Математический анализ
.29 Функциональные ряды. Степенные ряды.
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела математический анализ
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#64509

Разложить функцию

             ∘ ------
f(x) = ln (x +   1 + x2)

в степенной ряд с центром в точке 0, при помощи почленного интегрирования.

Показать ответ и решение

Поскольку                 1
f′(x) = (1 + x2)−2   , то мы можем написать для этой производной табличное разложение

 ′           2 − 1      +∑∞     +∑∞ (−-1)n+1(− 12)(−-32)...(−-12-−-n+-1) 2n
f (x) = (1 + x ) 2 = 1 +   1 +                  n!               x
                        n=1    n=1

Далее, чтобы получить разложение              √ ------
f(x) = ln(x+   1 + x2)  , осталось лишь проинтегрировать обе части равенства от 0 до x  , воспользовавшись теоремой о почленном интегрировании степенных рядов. С учётом того, что f (0) = 0  , константа интегрирования у нас будет равна 0:

           +∞      n+1  1    3     1
f(x) = x + ∑  (−-1)---(−2)(−-2)...(−-2-−-n+--1)x2n+1
                         (2n + 1)n!
           n=1
Ответ:

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!