Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти область сходимости степенного ряда
(в том числе, необходимо исследовать сходимость в концах интервала сходимости)
1. Найдём для начала радиус сходимости нашего степенного ряда.
Вычислим предел , в нашем случае . Будем иметь:
Таким образом, радиус сходимости равен . Значит, наш степенной ряд сходится
абсолютно в интервале .
2. Исследуем сходимость ряда в концах интервала, то есть в точках .
В точке наш ряд превращается в ряд
Легко видеть, что общий член ряда удовлетворяет соотношению
Что означает, что . То есть каждый следующий член ряда больше предыдущего. А в силу
неотрицательности всех членов из этого очевидно следует, что при . Следовательно, не
выполнен даже необходимый признак сходимости - общий член ряда в точке не стремится к 0.
Следовательно, в точке ряд расходится.
В точке наш ряд превращается в ряд
Теперь же, если мы возьмём модули членов нашего ряда , то получим
последовательность, которую исследовали при , то есть . Но мы уже выяснили, что
при . То есть члены нашего ряда по модулю не стремятся к нулю. Но
значит они и просто не стремятся к нулю (сходимость последовательности к нулю и сходимость модуля
последовательности к нулю эквивалентны).
Таким образом, в точке вновь не выполнен необходимый признак сходимости - члены
ряда в точке даже не стремятся к 0. Следовательно, в точке ряд расходится.
Итого, мы можем заключить, что наш ряд сходится на интервале .
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!