Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Исследовать на абсолютную сходимость интеграл
Нам нужно исследовать, сходится ли интеграл от модуля функции , т.е. сходится ли интеграл
Сделаем замену . При этой замене промежуток переходит в . . Имеем:
Далее, поскольку , то при любом . Следовательно,
Но интеграл
разбивается на сумму двух интегралов (поскольку )
При этом расходится, так как
А интеграл сходится:
Пусть . Тогда, во-первых, . Видим, что при больших
знаменатель положителен, а числитель есть произведение положительного на отрицательную
скобку , то есть при больших (если быть точным, при ) - то есть производная
всегда одного знака, начиная с , следовательно, при функция - монотонна.
Нетрудно усмотреть, что
(мы дважды воспользовались правилом Лопиталя).
Таким образом, - монотонно стремится к нулю при .
Далее, - имеет ограниченную первообразную на , поскольку
Таким образом, есть сумма расходящегося и сходящегося интегралов.
Следовательно, - расходится.
Но в силу неравенства
И расходимости , делаем вывод, что расходится и .
Следовательно, исходный интеграл абсолютно не сходится (расходится к ).
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!