Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Исследовать на абсолютную сходимость интеграл
Нам нужно исследовать, сходится ли интеграл от модуля функции , т.е. сходится ли интеграл
Этот интеграл, сходится он или расходится, в любом случае по определению равен пределу
.
Давайте покажем, что если идти по точкам вида , то такого предела
существовать не будет. Откуда будет следовать, что и никакого предела при произвольном стремлении
не существует.
Для удобства оценки, давайте оценивать интегралы, начинающиеся не от единицы, а от нуля, то есть
- поскольку мы лишь добавили сходящийся абсолютно интеграл - он ни
на что не повлияет (подынтегральная функция, хотя и не определена в нуле, но ограничена на ,
поэтому по критерию Коши легко доказать абсолютную сходимость интеграла ).
Итак, рассмотрим . Тогда:
Но на отрезке функция . Следовательно, можно оценить
Итак, с учётом этого, продолжим:
Но
можно вычислить, и он равен 4 (вычисляем =2, и в силу симметричности графика
умножаем на 2.)
Откуда в конце концов получаем:
Однако ряд - расходится, поскольку , а ряд расходится как
эталонный. Следовательно, по теореме сравнения ряд - расходится.
Но наш предел , как мы показали, и того больше. Следовательно,
, то есть исходный интеграл абсолютно не сходится (расходится к
).
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!