Прямоугольник и его свойства —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.09 Прямоугольник и его свойства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#23887

Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O.$ Найдите $AC,$ если $BO = 7,$ $AB = 6.$

$PIC$

Показать ответ и решение

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть

BO =OD, AC = BD

Тогда длина диагонали $AC$ равна

AC = BD = BO + OD = 2BO = 2⋅7 = 14

Ответ: 14

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#23881

Диагональ прямоугольника образует угол $∘ 44$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам:

AO =BO = CO = DO

Значит, треугольник $DOC$ — равнобедренный и

∘ ∠OCD = ∠ODC = 44

$PIC$

Тогда один из углов между диагоналями равен

∠DOC = 180∘− ∠OCD − ∠ODC = = 180∘− 44∘− 44∘ = 92∘

При этом другой угол между диагоналями равен

180∘− 92∘ = 88∘

Таким образом, острый угол между диагоналями равен $∘ 88.$

Ответ: 88

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1417

$O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD,$ $∠OAD = 28∘.$ Найдите $∠AOD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В прямоугольнике диагонали пересекаются, точкой пересечения делятся пополам и равны, тогда $AO = OD,$ следовательно,

∘ ∠ADO = ∠OAD =28

Тогда

∘ ∘ ∘ ∠AOD = 180 − 2 ⋅28 =124

Ответ: 124

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2749

Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямой, содержащей его большую сторону, равно 2,5. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Показать ответ и решение

Рассмотрим прямоугольник $ABCD.$ Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей, $OH = 2,5$ — расстояние от точки $O$ до большей стороны.

$PIC$

Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то $BO = CO.$ Следовательно, $△BOH = △COH$ как прямоугольные по катету и гипотенузе. Следовательно, $BH = CH.$ Таким образом, $OH$ — средняя линия в $△ABC,$ равная половине $AB :$

AB =2 ⋅2,5 =5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2197

Площадь прямоугольника равна $16$ . Найдите наименьшую из площадей треугольников, образующихся при пересечении диагоналей данного прямоугольника.

Показать ответ и решение

$PIC$

Диагонали разобьют прямоугольник на 4 равных по площади треугольника.

Действительно, т.к. $△ABC = △ADC,$ то и их площади равны. Так как медиана делит треугольник на два треугольника, равных по площади, то

S = S ABO CBO SADO = SCDO

Площадь каждого треугольника равна 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2196

В прямоугольнике $ABCD$ диагональ $AC = 2⋅CD.$ Найдите разность $∠BAC − ∠CAD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольник $ACD$ — прямоугольный, причём в нём катет равен половине гипотенузы, значит этот катет лежит против угла в $30∘$ , то есть $∠CAD = 30∘.$

∘ ∘ ∠BAC = 90 − ∠CAD = 60

Тогда

∘ ∘ ∘ ∠BAC − ∠CAD =60 − 30 = 30

Ответ: 30

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2162

Найдите периметр четырехугольника с вершинами в серединах сторон прямоугольника с диагональю, равной 8.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $AB = a,BC = b$ , в прямоугольнике все углы прямые, тогда по теореме Пифагора:

√ -2----2 a + b = 8.

Найдем сторону $EF$ : т.к. $E$ и $F$ – середины сторон $AB$ и $BC$ , то $-b a- BF = 2 ,EB = 2$ , тогда $-------- ∘ a2 b2 EF = ---+ -- 4 4$ , аналогично находятся остальные стороны, которые равны. Найдем периметр:

∘ -------- a2 b2 √ ------- PEF GK = 4 ⋅ ---+ -- = 2 ⋅ a2 + b2 = 2 ⋅ AC = 16. 4 4

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1838

Периметр прямоугольника $ABCD$ относится к периметру треугольника $ABC,$ как $7 :6.$ Найдите периметр $ABCD,$ если $BD = 10.$

$PIC$

Показать ответ и решение

P△ABC = AB + BC +AC PABCD =2 ⋅(AB + BC ) ⇒ 2⋅P△ABC − PABCD = 2⋅AC = 2⋅BD = 20

С другой стороны

2 ⋅P△ABC − PABCD = 2⋅6⋅x− 7⋅x =5 ⋅x= 20 ⇒ x =4

откуда находим $PABCD =7 ⋅x= 28$ .

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1416

Точка $E$ лежит на стороне $BC$ прямоугольника $ABCD.$ Площадь треугольника $AED$ равна 3. Найдите площадь прямоугольника $ABCD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Пусть $h$ — высота, опущенная из точки $E$ на $AD,$ тогда имеем:

SAED = 0,5 ⋅AD ⋅h

$PIC$

Пусть эта высота пересекает $AD$ в точке $F,$ тогда $F ECD$ — параллелограмм, так как

EF ∥CD, EC ∥F D

Значит, $h= CD$ и площадь прямоугольника $ABCD$ равна $AD ⋅h.$ Тогда искомая площадь в 2 раза больше, чем площадь треугольника $AED,$ и равна 6.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1415

Периметр прямоугольника $ABCD$ равен 42, при этом $2 AB = 5BC.$ Найдите площадь треугольника $ABC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то у него противоположные стороны равны. Тогда имеем:

2⋅AB + 2⋅BC = 42 4 BC +2 ⋅BC = 42 5

Тогда $BC =15,$ значит, $AB = 6.$

Треугольники $ABC$ и $ADC$ равны по двум катетам, тогда их площади равны. Следовательно, площадь треугольника $ABC$ равна половине площади прямоугольника $ABCD :$

SABC = 0,5⋅6⋅15 =45

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1414

Периметр прямоугольника $ABCD$ равен 26, а его площадь равна 40. Найдите разность большей и меньшей сторон этого прямоугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то у него противоположные стороны равны.

Обозначим длину прямоугольника за $a,$ а его ширину за $b,$ тогда

{ { a ⋅b = 40 ⇔ b =13 − a a +b +a +b =2(a+ b)= 26 a ⋅(13− a)= 40

Решим второе уравнение системы:

a2− 13a+ 40= 0 2 2 D = 13 − 4⋅40= 9= 3 a = 13+-3= 8 1 2 13−-3 a2 = 2 = 5

При $a= 5$ получаем $b= 8,$ но $a≥ b,$ тогда $a= 8, b =5$ и разность большей и меньшей сторон равна

8 − 5 = 3

Ответ: 3

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#538

Точка $O$ делит сторону $BC$ прямоугольника $ABCD$ на отрезки 7 и 1, а расстояние от точки $O$ до стороны $AD$ равно 3. Найдите периметр прямоугольника.