Воспользуемся тем фактом, что частичные суммы

будут ограничены (мы доказывали общий факт для косинусов, а для синусов он устанавливается аналогично). А при этом последовательность

стремится к нулю (это следует, что логарифм, в любой, разумеется, степени, стремится к бесконечности медленнее, чем любая степенная функция, что можно установить при помощи правила Лопиталя).

Более того, начиная с некоторого момента это стремление монотонное. Покажем, почему.

Рассмотрим , тогда

И тогда . В силу того, что при мы получаем, что при функция - убывает, а, значит, и при будет убывать последовательность .

Из вышеприведенного следует, что наш ряд сходится по признаку Дирихле.