Ромб и его свойства —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.10 Ромб и его свойства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80077

Найдите периметр ромба, если площадь вписанного в него круга равна $9π,$ а угол ромба равен $150∘.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим ромб $ABCD$ с тупым $∠B,$ в который вписан круг с центром в точке $O,$ площадь которого равна $9π.$ Тогда по формуле площади круга:

9π = π⋅r2,

9 = r2,

r = 3.

Провед̈eм радиусы $OP$ и $OT$ к точкам касания круга на сторонах $AD$ и $BC$ соответственно. $T P$ — диаметр, поскольку $OP$ и $OT$ лежат на одной прямой в виду параллельности сторон $AD$ и $BC.$

Опустим высоту $BH$ на $AD.$ Теперь $BHP T$ — прямоугольник по построению, где $BH = PT = 2r = 6.$

$PIC$

Любой ромб является параллелограммом, сумма двух его соседних углов равна $180∘.$ В таком случае $∠A = 180∘ − ∠B = 30∘.$

$△ABH$ — прямоугольный. По свойству катета, лежащего напротив угла в $30∘ :$

BH = 1⋅AB, 2

f так как $BH = 6,$ то $AB = 12.$

У ромба все стороны равны, следовательно, периметр ромба равен $4 ⋅12 = 48.$

Ответ: 48

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#23900

Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH = 12$ и $CH = 3.$ Найдите высоту ромба.

$PIC$

Показать ответ и решение

По условию имеем:

CD =CH + HD = 3+ 12= 15

Стороны ромба равны между собой, то есть

AD = CD = 15

Треугольник $AHD$ — прямоугольный, тогда по теореме Пифагора имеем:

AD2 = AH2 +HD2 AH2 = AD2 − HD2 = 152− 122 =81

Отсюда высота ромба равна $AH = 9.$

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#23898

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 10, а одна из диагоналей ромба равна 40. Найдите острый угол ромба. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть диагональ $AC = 40.$ Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то

1 AE = 2 ⋅40 = 20

Тогда в прямоугольном треугольнике $AEF$ катет $FE$ равен половине гипотенузы $AE,$ то есть $∠FAE = 30∘.$

$PIC$

В ромбе диагонали являются биссектрисами, то есть

∠BAD = 2∠BAE = 2⋅30∘ = 60∘ ∠ABC = 180∘− ∠BAD = 180∘− 60∘ = 120∘

Тогда острый угол ромба равен $60∘.$

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#23893

Сторона ромба равна 4, а один из углов этого ромба равен $∘ 150 .$ Найдите высоту этого ромба.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как один из углов ромба равен $∘ 150 ,$ то смежный ему угол равен

∘ ∘ ∘ 180 − 150 = 30

$PIC$

Далее, треугольник $ABH$ — прямоугольный, угол $∘ ∠BAH = 30 .$ Тогда катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы. Таким образом,

1 1 BH = 2AB = 2 ⋅4= 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#23886

В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $∘ 72.$ Найдите угол $ACD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $ABCD$ — ромб, $AB =BC,$ то есть треугольник $ABC$ — равнобедренный. $∘ ∠ABC = 72,$ а значит

1 ∘ 180∘ − 72∘ 108∘ ∘ ∠BAC =∠BCA = 2 (180 − ∠ABC ) = ---2-----= -2--= 54

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами,

∠ACD = ∠ACB = 54∘

Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#19485

Угол между стороной и диагональю ромба равен $∘ 54.$ Найдите острый угол ромба. Ответ выразите в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Диагональ ромба является его биссектрисой. Тогда имеем:

∘ ∠ABD = ∠DBC = 54 ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 2⋅54∘ = 108∘

$PIC$

Ромб является параллелограммом, поэтому сумма его углов, прилегающих к одной стороне, равна $180∘.$

Отсюда острый угол ромба равен

∠DAB = 180∘− ∠ABC = 180∘− 108∘ = 72∘ < 90∘

Ответ: 72

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#16085

Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в 3 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.

$PIC$

Показать ответ и решение

Обозначим меньшую диагональ ромба через $x,$ тогда большая равна $3x.$ Диагонали ромба перпендикулярны, площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей, следовательно, площадь ромба равна

x⋅3x-= 6 ⇔ x= ±2 2

$x$ должен быть положителен, ответ 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#16084

Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна 12. Найдите другую диагональ ромба.

$PIC$

Показать ответ и решение

Обозначим неизвестную диагональ ромба через $x.$ Далее, площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей. Так как диагонали ромба перпендикулярны, то его площадь равна

x-⋅12= 18 2

Тогда другая диагональ ромба равна $x= 3.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2519

Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в три раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть меньшая диагональ равна $d,$ тогда большая равна $3d.$ Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то

6 = S = 0,5⋅d⋅3d ⇒ d =2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2518

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то имеем:

S = 0,5 ⋅4⋅12= 24

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2517

В ромбе $ABCD$ угол $DAB$ равен $148∘.$ Найдите угол $BDC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами углов, то $∠BDC = ∠BDA.$ Так как у ромба все стороны равны, то $AD = AB,$ следовательно, $∠BDA = ∠DBA = x.$ Тогда

∘ ∘ ∘ ∘ x + x+ ∠DAB = 180 ⇒ x = (180 − 148) :2= 16

Ответ: 16

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2516

В ромбе $ABCD$ угол $CDA$ равен $78∘.$ Найдите угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами углов, то $∠ACB = ∠ACD.$ Так как у ромба все стороны равны, то $AD =DC,$ следовательно, $∠CAD = ∠ACD =x.$ Тогда

∘ ∘ ∘ ∘ x+ x+ ∠CDA = 180 ⇒ x= (180 − 78 ):2= 51

Ответ: 51

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2515

Диагонали ромба относятся как $4:3.$ Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.

$PIC$

Показать ответ и решение

Отрезок $HK$ — высота ромба. Так как $AB ∥DC$ и $HK ⊥ AB,$ то $HK ⊥ DC.$

Способ 1.

Так как диагонали ромба делят его на 4 равных прямоугольных треугольника, а у равных треугольников высоты, опущенные к равным сторонам, равны, то $OK = OH.$

Рассмотрим $△AOB.$ Так как $AC :BD = 4:3,$ то также $AO :BO =4 :3.$ Пусть $AO =4x, BO = 3x.$ Следовательно,

∘ ---2------2 AB = (4x)+ (3x) = 5x

$PIC$

Так как у ромба все стороны равны, то его сторона равна $200 :4= 50,$ следовательно, $5x= 50$ и $x =10.$

Высота прямоугольного треугольника $AOB,$ опущенная из вершины прямого угла $O,$ равна $AO ⋅OB :AB,$ следовательно,

4x-⋅3x- 12 OK = 5x = 5 x =24 ⇒ HK = 24⋅2= 48

Способ 2.

Так как у ромба все стороны равны, то его сторона равна $AB = 200 :4= 50.$ Следовательно, площадь ромба равна $S = 50HK$ как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Так как $AC :BD =4 :3,$ то можно принять $AC =4a, BD = 3a.$ Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то

2 S = 0,5 ⋅4a ⋅3a= 6a

Cледовательно,

50HK = 6a2 ⇒ HK = 3-a2 25

$PIC$

Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то по теореме Пифагора из $△AOB :$

( )2 3a +(2a)2 = AB2 ⇒ a2 = 400 2

Следовательно, искомая высота равна

3 HK = 25 ⋅400= 48

Ответ: 48

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2514

Найдите высоту ромба, сторона которого равна $√3,$ а острый угол равен $60∘.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $DH$ — высота ромба $ABCD$ из условия. Тогда в прямоугольном треугольнике $ADH$ имеем:

√- ∘ ∘ AD = 3, ∠A =60 , ∠ADH =30

$PIC$

Поскольку катет напротив угла $30∘$ равен половине гипотенузы, то

√- AH = 1AD = -3- 2 2

Отсюда по теореме Пифагора в треугольнике $ADH$ :

∘ -------(√--)2 DH = (√3)2− --3 = 3 2 2

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2200

Периметр ромба равен 40, а его диагонали относятся как $3 :4.$ Найдите площадь ромба.

$PIC$

Показать ответ и решение

Половины диагоналей находятся в таком же отношении, как и диагонали, то есть в отношении $3:4.$ Зная периметр, найдем сторону ромба: $40 :4= 10.$ Сторона и половины диагоналей образуют прямоугольный треугольник $AOB.$

$PIC$

Пусть $AO =4x,$ $BO = 3x.$ Тогда по теореме Пифагора:

(3x)2+ (4x)2 = 102 ⇒ 25x2 = 100 ⇒ x2 =4 ⇒ x= 2

Диагонали ромба равны

BD = 2BO = 2⋅6= 12, AC = 2AO = 2 ⋅8 = 16

Тогда искомая площадь равна

S = 1 ⋅12⋅16= 96 ABCD 2

Ответ: 96

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2199

В ромбе $ABCD :$ $∠ACD = 26∘.$ Найдите $∠ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В ромбе диагонали перпендикулярны, тогда

∘ ∘ ∠CDB = 90 − ∠ACD = 64

$BC = CD,$ тогда $∠CBD = ∠CDB = 64∘.$

Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то

∘ ∠ABD = ∠CBD =64

Ответ: 64

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2198

Острый угол ромба $ABCD$ равен $60∘,$ одна из его сторон равна 10. Найдите меньшую из диагоналей этого ромба.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $∠A = 60∘.$ В ромбе все стороны равны, тогда треугольник $ABD$ — равнобедренный, у которого один из углов равен $60∘,$ следовательно, треугольник $ABD$ — равносторонний и $BD = 10.$

Треугольник $ABC$ — тупоугольный. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда $AC > AB = BD,$ значит, $BD$ — меньшая из диагоналей.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1858

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно $3,$ а острый угол ромба равен $60∘.$ Найдите большую диагональ ромба.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть в ромбе $ABCD :$ $O$ — точка пересечения диагоналей, $OH$ — расстояние до стороны $AB,$ $∠DAB =60∘.$ Тогда $∠OAB = 30∘.$ Получаем, что $OH$ — катет лежащий напротив угла в $30∘,$ значит $AO =2 ⋅OH = 6.$ Т.к. $AC$ и есть большая диагональ, то

AC = 2⋅AO = 12

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1166

Площадь ромба равна $18.$ Одна из его диагоналей равна $12.$ Найдите другую диагональ.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $d$ — диагональ ромба, которую нужно найти. Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то

18= S = 0,5 ⋅d ⋅12 ⇒ d= 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1165

Найдите площадь ромба, если его высота равна $2,$ а острый угол равен $30∘.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Проведем $DH ⊥ AB$ .

$PIC$

Так как $∠A = 30∘,$ а катет, лежащий против угла $30∘,$ равен половине гипотенузы, то

AD = 2DH =2 ⋅2= 4

$AB = AD$ , так как в ромбе по определению все стороны равны. Площадь ромба равна произведению высоты на сторону, к которой проведена высота, следовательно,

S = DH ⋅AB = 4 ⋅2 = 8

Ответ: 8

Предыдущий раздел

Следующий раздел