Ошибка.
Попробуйте повторить позже
За время освоения космического пространства на различных орбитах скопилось по данным NASA около 300 тысяч объектов космического мусора. Дальнейшее использование космического пространства в ближайшем будущем может быть существенно осложнено всё возрастающей угрозой столкновения с космическим мусором. Согласно результатам исследований, удаление 3-5 крупных объектов в год с низких околоземных орбит позволяет предотвратить цепную реакцию роста объектов космического мусора в будущем. На данный момент работающей технологией по утилизации космического мусора является увод старых спутников. Это можно сделать с помощью аппаратов-захватчиков, которые буксируют мусор на орбиты для захоронения.
Рассмотрим плоскость орбиты захоронения. Пусть крупный фрагмент мусора движется в этой плоскости по эллиптической орбите с большой полуосью равной 5000 км, малой - 2500 км. (Для удобства вычислений все расчеты будем производить в тысячах километров.) Введем систему координат с началом отсчета в центре рассматриваемого эллипса, с осью абсцисс, направленной вдоль большой полуоси. Тогда уравнение траектории движения обломка запишется следующим образом: .
На некотором удалении по оси абсцисс находится межпланетная научная станция . С нее стартует летательный аппарат-захватчик, который движется по параболической траектории: . Он должен совершить маневр по переходу с одной орбиты на другую и плавно подойти к обломку для изменения его скорости и направления движения.
Определите координаты точки касания указанных траекторий и угол, который образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к параболической траектории в начальный момент времени в точке .
Выразим из уравнений
функции в явном виде:
Найдём их производные:
Приравняем производные друг к другу:
Будем искать целые решения уравнения. Если такие есть, то они являются делителями свободного члена.
подходит. Преобразуем уравнение, поделив на , получим
Но поэтому подходит только . Подставляя в любое из исходных выражений, находим . Значит координаты точки касания .
При
получаем
Подставляем в производную и находим тангенс угла касательной в начальный момент:
координаты
угол или
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основанием четырехугольной пирамиды является параллелограмм со сторонами и углом , равным . Высотой пирамиды является отрезок , где - точка пересечения диагоналей параллелограмма . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной медиане боковой грани и проходящей через середину ребра и середину отрезка .
Пусть — середина ребра а точка - середина отрезка . Рассмотрим плоскость . Так как плоскость сечения параллельна медиане и проходит через точку , построим прямую в плоскости . Тогда - средняя линия в , а середина .
Теперь нам известны три точки сечения: . Рассмотрим основание пирамиды и посмотрим, как прямая пересекает стороны основания. Пусть эта прямая пересекает прямые в точках .
Из теоремы Менелая для треугольника получаем, что
Так как , то .
Далее замечаем, что . Тогда
Откуда .
Из подобия получаем
То есть .
Аналогично из подобия получаем
То есть .
Проведем , где - точка на . Тогда
И . Тогда из теоремы косинусов для треугольника получим .
Пусть - точка, в которой прямая пересекает ребро . Тогда из теоремы Менелая для и прямой получим:
Далее из теоремы Менелая для имеем:
В силу параллельности прямых и имеем , откуда . По теореме косинусов для имеем , то есть . Из теоремы Пифагора для треугольника получаем , откуда . По теореме косинусов для имеем , а значит . По теореме Пифагора для вычислим . Заметим, что для треугольника выполняется теорема Пифагора, то есть угол прямой. С помощью теоремы косинусов для треугольника вычислим . Теперь через теоремы косинусов для треугольников и вычислим длины отрезков . Далее по теореме Герона получаем .
Заметим, что . Значит, .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при которых неравенство
имеет единственное решение, если
Подсказка 1
Работать одновременно и с иксами, и с несколькими функциями не очень хочется. Кроме того, мы можем заметить в условии одинаковые части, например, x² + 324 и f(x) - a. Какими двумя заменами можно привести данное нам неравенство к неравенству от двух функций?
Подсказка 2
Пусть u(x) = √( x² + 324), а v(x) = f(x) – a. В какую совокупность превращается наше неравенство после преобразования, и что мы можем сказать про число решений каждого выражения в данной совокупности?
Подсказка 3
После подстановки наших функций и приведению неравенства к общему знаменателя получится неравенство, которое будет равносильно совокупности u(x) = v(x) или v(x) < 0.
Подсказка 4
Неравенство v(x) < 0 не может иметь единственного решения. Значит, наша задача сводится к тому, чтобы найти a, при которых уравнение a = f(x) - √( x² + 324) имеет единственное решение. На какой способ решения данного параметра нам могут намекнуть квадраты и косинусы в функциях?
Подсказка 5
Функции квадрата и косинуса являются чётными, значит, и f(x) - √( x² + 324) будет четной функцией. Тогда как найти a, при которых уравнение может иметь единственное решение?
Подсказка 6
Если четная функция имеет положительное решение, то она имеет и отрицательное решение, а значит, единственным решением может быть только если это x = 0. Следовательно, a = f(0) – 18 = -3. Теперь мы получили a, при котором число решений является гарантированно нечетным, но не показали, что решение единственно. Подставьте a = -3 в уравнение и докажите, что решение кроме x = 0 быть не может.
Подсказка 7
После подстановки мы получим уравнение f(x) + 3 = √( x² + 324). Решать такое уравнение мы не хотим и не умеем, какие еще способы можно применять в подобных случая?
Подсказка 8
Давайте воспользуемся методом оценки. Правая часть уравнения, очевидно, будет больше либо равна 18, а достигается данное значение при x = 0, остается только доказать, что f(x) + 3 при любых x будет не больше равно 18.
В обозначениях исходное неравенство примет вид
Функция непрерывна как композиция непрерывных функций, поэтому у неравенства не может быть единственное решение, так что нам подходит только случай Заметим, что никакое решение этого случая не может удовлетворять ведь тогда что невозможно.
Итак, мы переформулировали задачу и получили такую: обеспечить единственность решения уже для уравнения
Заметим, что функция чётная, поэтому и функция чётная, так что и правая часть полученного уравнения чётная. Следовательно, если уравнение имеет положительное решение, то оно имеет и отрицательное решение (и наоборот). Поэтому единственным решением может быть только Сначала подставим и найдём, при каких это значение является решением:
Теперь проверим, что при у уравнения
нет других решений, кроме Тут уже поможет метод оценки. Правая часть не меньше причём равенство достигается только при А вот левая часть не больше 18, потому что
так как
ведь по неравенству треугольника
Итак, при действительно единственное решение, при других значениях единственность невозможна.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольник со сторонами , вписана окружность с центром в точке , которая касается сторон и в точках и соответственно. На прямой отмечена точка так, что угол равен . Найдите длину отрезка .
Подсказка 1
Во-первых, давайте поймём, что у нас за картинка. А картинка у нас фиксирована, то есть мы можем вычислить (возможно, с большой сердечной болью) любой объект на картинке. А значит, скорее всего, задача на счёт. При этом, если мы уже хотим считать, то давайте посчитаем углы треугольника (возможно, угол OAK равен 60 градусам неспроста, иначе, непонятно как связать его хоть с чем-то)
Подсказка 2
По теореме косинусов угол ABC равен 60 градусам. Значит, угол AOC — 120. То есть, прямые OC и AK параллельны, а где параллельность — там и подобие. Очевидно, что сторона MT ищется, так как известен угол и можно найти отрезок касательной MC. При этом мы знаем, что OC перпендикулярно MN. А значит и AK перпендикулярно MN. Какие тогда два треугольника подобны и как тогда найти KN?
Подсказка 3
Если OC и MN пересекаются в T, то выходит, что MTC и MAK подобны. При этом мы знаем их коэффициент подобия и знаем MT. Значит, мы знаем KM, а значит, так как знаем KM и MT, то знаем и KN.
Заметим сразу, что , то есть треугольник — остроугольный. А значит и . Поэтому точка лежит снаружи треугольника
Обозначим углы треугольника за По теореме косинусов найдем угол
Проведем . Тогда Поэтому, так как по условию,
Пусть — точка пересечения и . — биссектриса, медиана и высота в равнобедренном треугольнике , поэтому
Тогда из прямоугольного треугольника получаем
По теореме косинусов найдем угол
По формуле половинного угла
По основному тригонометрическому тождеству
И тогда
А из треугольника находим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На параболе даны две точки: с абсциссой и с абсциссой Точка лежит на дуге . Найдите максимальную возможную площадь треугольника .
Подсказка 1
Итак, хотим найти площадь…какую формулу для ее нахождения будет проще всего применить? Что из нужных величин у нас уже есть и фиксированно? Что тогда нужно максимизировать?
Первое решение.
Площадь треугольника будет максимальной, когда высота из точки на основание будет максимальной длины. Это произойдет, когда касательная к параболе в точке будет параллельна
Координаты точек: . Тангенс наклона прямой, содержащей , равен Тангенс угла наклона касательной к графику в точке равен производной функции в этой точке, поэтому хотим найти такое, что
Итого, искомые координаты . Найдем длины сторон треугольника
Найдем площадь треугольника по формуле Герона:
Второе решение.
Разрежем треугольник вертикальным отрезком , тогда
Пусть уравнение прямой . Тогда . Этот трёхчлен достигает максимум посередине между корнями, которые, очевидно, равны и Значит, максимальная длина отрезка получится, если взять , и тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Буквы в симметричном слове АРБУЗУЗУБРА случайно переставили так, что полученное слово отличается от исходного. С какой вероятностью это слово снова будет симметричным? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Подсказка 1
Что такое вероятность в этой задаче? Количество способов расставить буквы симметрично, отнесенное к количеству способов расставить их как угодно. Нам надо комбинаторно вычислить оба эти количества. Не забываем, что некоторые буквы одинаковые!
Подсказка 2
Чтобы посчитать количество симметричных слов, надо понять, как они вообще образуются. Если, допустим, мы решили ставить А на первое место, то на последнем тоже автоматически оказывается А. После таких наблюдений понятно, сколько мест у нас с выбором, а сколько “заполняется автоматически”.
Всего способов переставить 11 букв (из них по 3 У и по 2 А, Р, Б, З)
Чтобы слово было симметричным, на позиции должна стоять буква У (иначе не будет симметрии, так как оставшиеся буквы идут парами). На позициях с первой по пятую можно поставить способами любую последовательность букв. Тогда, чтобы была симметрия, буквы на оставшихся позициях определяются однозначно.
Не учитывая исходное слово, вероятность равна частному количества подходящих исходов (слово симметричное и отличается от исходного) и всех исходов (слово отличается от исходного), то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких значениях параметра уравнение
имеет нечетное количество решений?
Построим график функции , а затем отразим относительно оси абцисс часть графика, лежащую в и четвертях. Раскроем внутренний модуль:
При получаем
При получаем
Найдём значения параметра , при которых прямая пересекает график в нечетном числе точек.
При пересечений нет, то есть нет решений у исходного уравнения.
При получаем решения.
При получаем решения.
При получаем решения.
При получаем решения.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Последовательность Фибоначчи задана рекуррентно . С каким остатком число 3 в степени делится на 13?
Чтобы найти остаток при делении на достаточно знать остаток при делении на потому что
По индукции доказывается, что остатки при делении чисел Фибоначчи на повторяются с периодом
Поскольку делится на с остатком имеем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Во всем мире популярна игра в хоккей. Многое в игре зависит от вратаря. Для отработки навыков вратарей и обеспечения тренировочного процесса, который бы не зависел от других игроков, создали шайбомет. Автомат можно настроить так, чтобы он выбрасывал шайбы с заданной временной частотой, скоростью и под определенным углом.
Пусть линия ворот находится на расстоянии 25 м от центральной точки хоккейной площадки. Автомат установлен на расстоянии м от точки по направлению к воротам, скорость выброса шайбы равна м/c. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот. При этом для обеспечения безопасности траектория вылетающих шайб должна, с одной стороны, находиться не выше прямой линии, соединяющей центр ледовой площадки с точкой, находящейся в плоскости полета шайб, в плоскости ворот, и на расстоянии одного метра от поверхности льда, а с другой стороны — должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории.
Определите максимально возможное значение тангенса угла, под которым могут вылетать шайбы из шайбомета, если траектория движения шайбы, рассматриваемой как материальная точка, в плоскости ее полета в системе координат с центром в и осью абсцисс, направленной вдоль поверхности льда, описывается уравнениями
Для упрощения вычислений можно считать, что ускорение свободного падения м/c
Источники:
Подсказка 1.
Вспоминаем уроки физики:) Так как переменная t у нас нигде не фигурирует, то хорошей идеей было бы от неё избавиться, подставив из первого уравнения во второе. Мы получим выражение вида y(x), в котором из тригонометрии будет находиться tg(a) и 1/cos²(a). Как бы нам получить только тангенс?
Подсказка 2.
1/cos²(a) = 1 + tg²(a). По условию наша шайба должна быть ниже условной линии на протяжении всего полёта. Тогда x * tg(b) <= y(x), где b - угол между осью площадки и линии, соединяющей центр поля с верхним концом ворот. Для каких x это должно выполняться?
Подсказка 3.
Поскольку траектория вылетающих шайб должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории, получили стандартное квадратичное неравенство, которое должно быть верно для всех x. Осталось записать условие неположительности дискриминанта и неотрицательности старшего члена, и оттуда найти наибольший возможный тангенс
Введем систему координат с центром в точке Ось абсцисс направим к линии ворот.
Выразим время из первого уравнения системы и подставим во второе
Чтобы шайба была ниже условной линии для любого значения требуется выполнение условия
для любого Поскольку траектория вылетающих шайб должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории, то неравенство
должно выполняться для всех
Перепишем неравенство в более удобном виде и учтем, что выполнение этого неравенства возможно лишь при неположительном дискриминанте.
Подставляем м/c
Подставляем м, м/с
Теперь посчитаем сам
Значит, максимально возможное значение равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите площадь сечения правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через вершину основания и параллельной медиане боковой грани и апофеме боковой грани если сторона основания пирамиды равна а расстояние от вершины до секущей плоскости равно
Источники:
Построим сечение пирамиды. В плоскости через точку проведем прямую параллельную принадлежит прямой Тогда будет средней линией треугольника следовательно, где — сторона основания пирамиды.
Плоскость содержит прямые и которые параллельны плоскости сечения, следовательно, по признаку плоскость параллельна плоскости сечения.
Через точку проведем прямую параллельную где принадлежит прямой Т.к. и значит, — параллелограмм, следовательно, Учитывая, что — середина а также можем сказать, что
Пусть — точка пересечения прямых и Плоскость сечения пересекает основание пирамиды по отрезку
Пусть — точка пересечения и Заметим, что углы И равны как вертикальные, а углы и как накрестлежащие при параллельных прямых и и секущей Следовательно, треугольники и подобны, поэтому
Т.к. является правильным шестиугольником, значит, Учитывая, что получаем, что Т.к. и углы и равны, аналогично, т.к. и углы и равны, а также следовательно, треугольники и равны, поэтому
Пусть точка — точка пересечения прямых и а точка — точка пересечения прямых и Из-за того, что — правильный шестиугольник, можно сделать вывод, что Т.к. треугольники и подобны, поэтому
В плоскости через точку проведем прямую параллельную принадлежит ребру — точка пересечения прямой с ребром параллельны друг другу, поэтому по теореме Фалеса имеем
В плоскости точка — точка пересечения прямых и Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей
Искомое сечение - это Для нахождения площади сечения используем формулу
где — площадь проекции сечения на плоскость основания, — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Найдем площадь проекции сечения на плоскость основания.
Проекцией является пятиугольник Площадь проекции сечения вычисляется по формуле
Обозначим расстояние от точки до плоскости сечения Т.к. точка принадлежащая плоскости сечения является серединой расстояние от точки до сечения тоже равно В треугольнике проведем высоту обозначим ее длину Тогда
Т.к. — правильный, Тогда найдем по теореме косинусов:
Используя различные формулы для нахождения площади треугольника имеем
Тогда
Окончательно имеем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при которых система
имеет единственное решение где — целые числа. Укажите это решение при каждом из найденных
Источники:
Подсказка 1
Можно заметить, что во втором уравнении системы слагаемые имеют похожий вид. Может, сделать так, чтобы первое слагаемое зависело только от x, а второе только от y...
Подсказка 2
Для этого умножим обе части уравнения на 2^(y-x-|a+2x|). Если каждый логарифм привести к основанию 3, то можно заметить, что оба слагаемых имеют вид f(n)=2ⁿlog₃(n²+1). Тогда наше уравнение имеет вид f(3-x-|a+2x|)=f(y). Что мы можем сказать про знаки чисел 3-x-|a+2x| и y?
Подсказка 3
Из первого уравнения системы видно, что y>=0, а из третьего, что 3-x-|a+2x|>=0. Как ведет себя функция f(n) при n>=0?
Подсказка 4
Можно заметить, что f(n) это произведение двух строго возрастающих функций 2ⁿ и log₃(n²+1) при t>=0. Тогда при t>=0 f(n) тоже будет строго возрастать. Как тогда переписать второе уравнение системы...
Подсказка 5
Второе уравнение системы равносильно тому, что y=3-x-|a+2x|. Подставив у в первое уравнение, мы видим, что оно имеет вид |u|+|v|=u-v, где u=a-3|x+1|+x+3 и v=a+2x. Когда достигается это равенство?
Подсказка 6
Когда u>=0 и v<=0. Тогда 3|x+1|-x-3<=a<=-2x. Попробуйте построить эту область в системе Oxa и понять, какие точки из нее нам подходят.
Подсказка 7
Нетрудно заметить, что если x и a- целые, то и y- целое. Отсюда следует, что осталось только найти все целые а, при которых существует единственный x такой, что точка (x, a) лежит в нашей области. Найдите их!
Преобразуем второе уравнение системы следующим образом:
Из первого уравнения системы следует, что Из третьего уравнения системы
Введём функцию
Она является произведением строго возрастающих функций при Значит, тоже является строго возрастающей функцией при Значит, она имеет свойство:
Запишем преобразованное уравнение, используя обозначение
Следовательно, по свойству оно равносильно
Подставляя получившиеся выражение в первое уравнение системы, получим
Обозначим Тогда исходное уравнение будет иметь вид
Решениями последнего уравнения являются все и такие, что
Отсюда имеем
В системе построим графики функций
Из графиков понимаем, чтобы выполнялось ранее получившиеся двойное неравенство, точка должна лежать в закрашенной области.
Заметим, что если — целое число, то
будет целым, если целое. Поэтому нам остаётся отобрать только такие целые для которых будет только один такой целый что точка лежит в закрашенной зоне на графике:
При имеем решение
При имеем решение
При имеем решение
При имеем решение
При имеем решение
При имеем решение
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектрисы внешних углов треугольника пересекают продолжения противоположных сторон треугольника в точках соответственно. Найдите угол и длину отрезка если а угол равен
Источники:
Подсказка 1
Мы знаем, что биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке. Попробуйте провести аналогичное доказательство к тому, что эти три точки на самом деле лежат на одной прямой)
Подсказка 2
Для этого попробуйте также записать всякие отношения и теорему Менелая!
Подсказка 3
Мы поняли, что эти три точки на одной прямой, а значит искомый угол = 180 градусов. Теперь давайте перейдем к отрезку A₁B₁. Для начала можно поискать все что можно в треугольнике ABC, например, недостающую третью сторону)
Подсказка 4
Да, это можно сделать с помощью теоремы косинусов! А теперь попробуйте опять же записать множество отношений и некоторые отрезки представить в виде суммы отрезков. С этой технической работой можно дойти до нужного отрезка!
Обозначим
Треугольники и имеют общую высоту из общей вершины следовательно, можем записать следующие соотношения для их площадей
(1) |
Пусть — перпендикуляр из к прямой — перпендикуляр из к прямой Так как — биссектриса значит, точка равноудалена от прямых и Следовательно, Благодаря этому получаем
(2) |
Из соотношений (?? ) и (?? ) следует, что
Аналогично получаем
Тогда
Значит, по теореме Менелая точки лежат на одной прямой. Т.е. и
По теореме косинусов найдём
Теперь найдём
Аналогично получаем и Обозначим Получим значения и из двух теорем косинусов
Запишем теорему косинусов в
Углы и равны как вертикальные. Запишем теорему косинусов в
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Имеется одна подключенная к сети электрическая розетка, два удлинителя на три розетки каждый и одна настольная лампа в комплекте. Незнайка случайным образом воткнул все три вилки в 3 из 7 розеток. С какой вероятностью загорится лампа?
Источники:
Подсказка 1
Раз нас просят найти вероятность, значит, нам нужно найти отношение общего числа способов воткнуть вилки и подходящих нам. Тогда какое общее число способов?
Подсказка 2
Верно, общее число способов будет равно 7*6*5=10. То есть у нас есть 7 мест для первой вилки, 6 — для второй, и 5 — для третьей. Теперь разберёмся с благоприятными исходами. В каких случаях загорится лампа? Таких способов немного и достаточно просто перебрать их все.
Подсказка 3
Действительно, таких способов только три: лампа питается напрямую через розетку, лампа питается через 1 удлинитель, лампа питается через 2 удлинителя. Осталось теперь аккуратно посчитать способы и получить вероятность.
Число равновероятных исходов втыкания 3-х вилок в 7 розеток равно Понятно, что благоприятные исходы, в которых загорелась лампа, можно разбить на три случая: лампа питается напрямую через розетку, лампа питается через 1 удлинитель, лампа питается через 2 удлинителя. Рассмотрим каждый случай отдельно:
1) Лампа питается напрямую через розетку. Т.е. лампа включена в розетку, а другие 2 вилки — в любые 2 из оставшихся 6 разъёмов удлинителей. Значит, число таких благоприятный исходов
2) Лампа питается через 1 удлинитель. Т.е. лампа включена в один из 6 разъёмов удлинителей, соединённый с ней удлинитель включен в розетку, а другой — в любой из 5 оставшихся разъёмов удлинителей. Значит, число таких благоприятный исходов
3) Лампа питается через 2 удлинителя. Т.е. лампа включена в один из 6 разъёмов удлинителей, соединённый с ней удлинитель включен в один из 3 разъёмов другого удлинителя, а тот — в розетку. Значит, число таких благоприятный исходов
В итоге общее количество благоприятных исходов равно . Следовательно вероятность того, что лампа загорит, равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что многочлен имеет три различных действительных корня. Найдите многочлен третьей степени с корнями где — различные корни многочлена
Источники:
Первый вопрос, подсказка 1
Раз нас просят доказать существование корней, то находить их самих необязательно. Что значит существование корня с точки зрения графика? Это значит, что он пересекает ось x. (Конечно, он может и касаться его, но тогда это будет кратный корень, отсутствие которого вы можете легко проверить) Исходя из этого, какое условие нужно проверить? Возможно, вы даже знаете теорему, связанную с этим вопросом.
Первый вопрос, подсказка 2
Верно, если многочлен пересекает ось x, то значит, что до этого он принимал значение одного знака, а после корня — другого. Вам осталось только найти подходящие точки и проверить знак многочлена в них, чтобы он был различным. Тогда между этими точками и лежат различные корни. Это и есть теорема о промежуточном значении, а точнее следствие из неё.
Второй вопрос, подсказка 3
Нас просят теперь найти многочлен с корнями, которые выражаются через корни исходного. А какая теорема связывает корни многочлена и его коэффициенты?
Второй вопрос, подсказка 4
Верно, конечно это теорема Виета. Выразите сначала коэффициенты P(t) через его корни. Потом запишите теорему Виета для нового многочлена. Осталось только всё выразить в удобном виде, подставить и победа!
Поскольку а то по теореме о промежуточном значении между и есть корень этого многочлена. значит между и у многочлена есть корень. значит между и у многочлена есть корень. Получили, что у многочлена есть три различных (потому что каждый находится в своем интервале) действительных корня.
Из теоремы Виета для данного многочлена имеем:
Тогда можно через теорему Виета для найти его коэффициенты:
Отсюда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В 2022 году исполняется 65 лет запуска первого искусственного спутника Земли (ИСЗ). В настоящее время для обеспечения бесперебойной работы сотовой связи, систем теле и радиовещания используются различные виды спутников, находящихся на различных орбитах, на различных высотах.
Зоной покрытия спутника назовем часть поверхности земного шара, в пределах которой обеспечивается уровень сигналов к спутнику и от него, необходимый для их приема с заданным качеством в конкретный момент времени. Как правило, эта часть поверхности ограничивается окружностью, проходящей по линии видимого горизонта. На рисунке линия проходит через точку Г:
a) Определите площадь земной поверхности ( ), которая является зоной покрытия спутника, находящегося на высоте км относительно земной поверхности, считая ее сферой радиуса км с центром в точке
б) Найдите все значения для которых на поверхности земли можно расположить окружности каждая из которых внешним образом касается окружности с центром в точке и радиусом каждая из них является границей зоны покрытия ИСЗ, находящегося на той же высоте , что и спутник с зоной покрытия Каждая из зон покрытия должна внешним образом касаться окружностей и т.е. первая касается и вторая — и и т.д. Окружность должна касаться и
Источники:
Пункт а, подсказка 1
Вспомним формулу площади шарового сегмента: S = 2πR*h, где h = АЗ. Осталось только найти h и посчитать
Пункт б, подсказка 1
Пусть В — точка касания C₀ и C₁, а З, З₁, З₂ — точки пересечения радиусов сферы, проходящих через центры окружностей. sin(а) можно найти из треугольника АВО. Заметим равенство углов ЗОВ и ВОЗ₁, что делает угол ЗОЗ₁ равным 2а. Найдем ЗЗ₁ через равенство треугольников ОГВ и ОЗ₁З(по двум сторонам и углу). Как нам связать это с количеством окружностей?
Пункт б, подсказка 2
Через двугранный угол при ребре ОЗ. Он будет зависеть от количества таких окружностей и равняться 360°/n
Пункт б, подсказка 3
Чтобы его выразить, опустим перпендикуляры из точек З₁ и З₂ на ребро ОЗ. Пирамида ОЗЗ₁З₂ правильная, поэтому З₁Н и З₂Н пересекутся в одной точке Н и будут равны. Теперь нам нужно их найти.
Пункт б, подсказка 4
Рассмотрим треугольник З₂НЗ₁. Выразим З₂З₁, которую мы уже знаем, через З₁Н и половину угла З₂НЗ₁. Из уравнения выразим sin(180°/n). Осталось только его оценить и получить из этого оценку на n!
а) Зона покрытия — часть сферы, лежащая внутри конуса. , где — высота сегмента. , здесь угол — угол между радиусом ОГ и линией ОА, соединяющий центр сферы с центром окружности, которая является линией пересечения сферы и конуса.
Тогда площадь равна
б) Пусть О — центр сферы, В — точка касания первой и второй окружности, А и их центры этих окружностей, — точки пересечения радиусов со сферой. Обозначим — угол между ОЗ и ОВ. Тогда
В правильной пирамиде О плоские углы при вершине равны двугранный угол при ребре О3 равен Опустив перпендикуляры из точек и на ребро О3 в точку H, треугольники О и О равны (по трем сторонам), т.к. две стороны равны а третья
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Шар радиуса лежит внутри правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 8 и высотой 3. Этот шар касается плоскости основания пирамиды и боковых граней и Плоскость касается шара, проходит через точку середину ребра и пересекает ребро в точке Найдите объем пирамиды
Поскольку пирамида правильная, то центр указанного шара лежит в плоскости , где — высота пирамиды. Пусть
Обозначим Проведем — точка касания шара плоскости пусть радиус шара Поскольку то Треугольники и подобны, и или
По условию задачи Тогда
Точка — точка пересечения и тогда Поскольку
Пусть . Тогда Если то Угол между плоскостью и плоскостью основания равен Тогда
Пусть — отрезок перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость основания , и . Тогда . Если , то
— высота треугольника проведенная из вершины
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при которых система
имеет шесть различных решений.
Источники:
Подсказка 1
Система только кажется страшной, а когда так кажется, то скорее всего за ней спрятано что-то простое. Давайте тогда попробуем разбить наши сложные уравнения на несколько простых, а ещё попутно не забудем собирать ограничения на ОДЗ!
Подсказка 2
Во втором уравнении как-то странно выбивается log₂(a²), ведь остальные логарифмы по основанию "a". Может, стоит его перевернуть? Не забывайте, что мы не всегда вправе так делать, вспомните, какими утверждениями мы пользуемся при таком переходе, чтобы он был равносильным.
Подсказка 3
Первое уравнение легко распадается на 2 независимых, а значит, нашу систему можно переписать как совокупность систем и работать с каждой из них по отдельности. Мы могли бы поверить в светлое будущее и понадеяться, что в сумме полученные системы имеют не более 6 решений, чтобы получить ещё побольше информации, но, порисовав графики, можно убедиться, что решений может быть больше. Поэтому придётся искать, сколько решений имеет каждая из систем по отдельности для всех "a".
Подсказка 4
Давайте начнём с системы ay-ax+2=0; |xy|=4a. Про I, II, III четверти мы всё понимаем, а вот с IV стоит поработать. Поэтому мы сразу можем сказать, что работаем при x > 0, y < 0. Интуитивно хочется сказать, что нас волнует только точка (1/a, -1/a) прямой ay-ax+2=0, которая сама бегает по прямой y = -x, а именно под или над веткой гиперболы она лежит. Ещё очень хочется сказать, что ближайший маршрут от точки (0,0) до ветки лежит на прямой y = -x. А если что-то хочется, то надо бы попробовать это доказать. Подумайте, как можно понять, сколько общих точек с веткой гиперболы из IV четверти имеет наша прямая для всех "a"?
Подсказка 5
Мы же можем перейти к расстояниям от интересующих нас точек до точки (0,0), ведь они обе лежат на прямой y=-x и на ней же лежит отрезок из начала координат до ближайших точек соответствующих графиков, а зная расстояние до каждой из них, мы с лёгкостью сможем сказать, сколько решений имеет данная система.
Подсказка 6
Чтобы найти длину достаточно знать координаты каждой из указанных точек и воспользоваться теоремой Пифагора. На самом деле для нахождения кратчайшего расстояния до прямой ay-ax+2=0 можно было воспользоваться фактами для прямоугольного треугольника, который образуется пересечением этой прямой с осями, такой приём может сильно сократить вычисления в более сложных задачах.
Подсказка 7
Наконец перейдём ко второй системе. Теперь у нас один из графиков не прямой, а "уголок" ("галочка", "клин"). Чтобы хорошо себе представить его поведение хорошо бы знать, как меняется его "вершина" и "ветки" при изменении "a".
Подсказка 7
Можно заметить, что коэффициент перед "x" от "a" не зависит, а значит его ветки постоянны, а если вместо "x" подставить "a" (момент смены знака модуля или наклона прямой), то можно заметить, что y = -a, а значит, его вершина лежит на прямой y=-x, и мы снова свели задачку к IV четверти, но у нас уже есть все инструменты для решения аналогичной задачи!
Подсказка 8
Не забудьте про то, что если первая система имеет A решений, вторая - B, то необязательно, что их совокупность будет иметь A+B решений, ведь некоторые могут совпасть...
Упростим второе уравнение системы:
I.
1) Система имеет 2 различных решения, если
Найдем эти решения:
2) Система имеет 3 различных решения, если
Найдем эти решения:
3) Система имеет 4 различных решения, если
Найдем эти решения:
II.
при имеем при имеем
1) Система имеет 2 различных решения, если
Найдем эти решения:
2) Система имеет 3 различных решения, если
Найдем эти решения:
3) Найдем значение параметра при котором прямая будет касаться графика гиперболы
Тогда при система будет иметь 4 решения:
Найдем четвертое решение:
4) При система будет иметь 5 различных решений:
5) Система имеет 6 различных решений при :
Возможны следующие случаи совпадения решений в I и II случаях:
1) в этом случае нет решений;
2) прямые и гипербола пересекаются в одной точке, но этот случай возможен при и в этом случае будет 7 решений.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В выпуклом четырехугольнике длины сторон и равны, — биссектриса угла Найдите косинус угла если — точка пересечения диагоналей и и
Источники:
Подсказка 1
Сразу запишем все отрезки через переменные, пользуясь свойством биссектрисы) Как воспользоваться тем, что у четырехугольника есть две равные стороны? Не забываем, что диагональ DB является биссектрисой!
Подсказка 3
Произведение отрезков диагонали равны! Запишем это, и, т.к. у нас все отрезки теперь выражены с помощью двух переменных, сможем применить теорему косинусов, чтобы избавиться от одной переменной) Осталось лишь понять, как искать косинус нужного угла, если мы знаем отношения практически всех отрезков на картинке!
пусть пусть — биссектриса треугольника
Точка является точкой пересечения серединного перпендикуляра к диагонали и биссектрисы угла в выпуклом четырехугольнике Следовательно, около этого четырехугольника можно описать окружность.
Действительно, опишем окружность около треугольника обозначим точку пересечения биссектрисы угла с окружностью через Тогда по свойству вписанных углов дуги и будут равны, хорды и тоже будут равны, треугольник будет равнобедренным, и серединный перпендикуляр к диагонали и биссектриса угла будут пересекаться в точке Следовательно,
Поскольку около четырехугольника можно описать окружность, то для его диагоналей верно равенство
Треугольник подобен , и , пусть поэтому
По теореме косинусов для треугольников и с учетом имеем
Для равнобедренного треугольника имеем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В лаборатории имеются колбы двух размеров (объемом и объемом ) в суммарном количестве 100 штук, причем колб каждого размера не менее трех. Лаборант поочередно случайно выбирает три колбы, и первую из них полностью заполняет 80-процентным раствором соли, вторую полностью заполняет 50-процентным раствором соли, а третью колбу полностью заполняет 20 процентным раствором соли. Затем он сливает содержимое этих трех колб в одну чашу и определяет процентное содержание соли в ней. При каком наименьшем количестве больших колб событие «процентное содержание соли в чаше находится в пределах от до включительно» будет случаться реже события «при случайном бросании двух симметричных монет выпадает орел и решка (в любом порядке)»? Ответ обосновать.
Подсказка 1
Для начала, надо обозначить количество больших и малых колб, учитывая, что их сумма равна 100 и количество каждого типа не меньше 3. Теперь, давайте переберем все случаи, которые могут быть при вытаскивании трёх колб и поймем, какие нам подходят, а какие нет.
Подсказка 2
Да, если мы вытащим три большие колбы, то содержание соли будет 50 процентов, это нам подходит, так как(0.8V+0.5V+0.2V)/(3V) = 0.5. Переберите остальные случаи, а после этого вспомните, что мы как-то обозначили количество больших и малых колб(например, N - количество больших колб, а n - маленьких)
Подсказка 3
Верно, если мы переберем все случаи, то получим, что условие на процентное содержание выполняется, когда у нас 3 больших или три малых колбы, также если в маленькую колбу залить 50% раствор, а остальные колбы большие и последний случай, когда в большую колбу залили 50% раствор, а остальные колбы маленькие! Осталось написать уравнение через определение вероятности, ведь всего вариантов выбрать три колбы(если их пронумеровать, чтобы все они были различны) 100*99*98
Подсказка 4
После приведения подобных у нас останется уравнение ((N-50)²+2450)/4950 < 1/2. Остаётся найти такое минимальное N(мы сравниваем именно с одной второй, так как вероятность выпадения одного орла и одной решки за 2 броска равна 1/2)
Если — имеющееся количество больших колб в лаборатории, то — имеющееся количество малых колб в лаборатории, Для события содержание соли в чаше находится в пределах от до включительно необходимо найти такое наименьшее что вероятность
Мысленно перенумеруем все имеющиеся в лаборатории колбы — присвоим им личные номера от 1 до 100. И тогда равновероятными исходами этого эксперимента будут упорядоченные тройки различных личных номеров последовательно выбираемых лаборантом колб: Общее количество таких исходов равно
Вычислим теперь количество благоприятных исходов для появления события Рассмотрим следующие случаи, определяемые размерными типами выбранных колб.
- 1.
-
Лаборант выбирает три большие колбы — тип [Б, Б, Б]. Тогда процентное содержание соли в чаше в результате описанных манипуляций лаборанта окажется равным величине:
Такой выбор благоприятствует появлению события Количество элементарных исходов данного типа, очевидно, равно
- 2.
-
Лаборант выбирает три маленькие колбы — тип [м, м, м]. Процентное содержание соли в чаше:
Такой выбор благоприятствует появлению события Количество исходов в этом случае равно
- 3.
-
Лаборант выбирает сначала две большие колбы, затем маленькую — тип [Б, Б, м]. Процентное содержание соли в чаше:
Такой выбор не благоприятствует появлению события
- 4.
-
Лаборант выбирает последовательно большую, малую и большую колбы — тип [Б, м, Б]. Процентное содержание соли в чаше:
Такой выбор благоприятствует появлению события Количество элементарных исходов в этом случае равно
- 5.
-
Лаборант выбирает сначала малую колбу, затем две большие колбы — тип [м, Б, Б]. Процентное содержание соли в чаше:
Такой выбор не благоприятствует появлению события
- 6.
-
Лаборант выбирает сначала две малые колбы, затем большую колбу — тип [м, м, Б]. Процентное содержание соли в чаше:
Такой выбор не благоприятствует появлению события
- 7.
-
Лаборант выбирает последовательно малую, большую и малую колбы — тип [м, Б, м]. Процентное содержание соли в чаше:
Такой выбор благоприятствует появлению события Количество элементарных исходов в этом случае равно
- 8.
-
Лаборант выбирает сначала большую, затем две малые колбы — тип [Б, м, м]. Процентное содержание соли в чаше:
Такой выбор не благоприятствует появлению события .
Вычисляем вероятность события A (по формуле классической вероятности):
Отсюда имеем
И значит,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
Видим, что у нас в уравнениях есть общая "некрасивая" часть. Что тогда с ней хочется сделать?
Подсказка 2
Верно, мы можем заменить это выражение на t. А что тогда мы получаем из исходного уравнения и замены?
Подсказка 3
Точно, у нас получаются два уравнения с двумя неизвестными. То есть осталось только решить систему уравнений и не забыть учесть ОДЗ. А как же решать казалось бы эту страшную систему?
Подсказка 4
Можно выбрать такой путь. В исходном уравнении после замены у нас получается сумма кубов, которую можно разложить. Тогда одна из скобок нам уже будет известна. Теперь раскройте скобки, а дальше вернитесь к первой подсказке. Затем останется совсем немного доделать, и победа!
Выпишем ОДЗ:
Сделаем замену . Тогда
Получаем систему
Преобразовав первое уравнение, получим
Сделаем обратную замену
Решив квадратное уравнение относительно получим